Введение

В математике, в частности в коммутативной алгебре, понятие дробного идеала вводится в контексте целостных областей и оказывается особенно полезным при изучении областей Дедекинда. В некотором смысле, дробные идеалы целостной области можно рассматривать как идеалы, допускающие знаменатели. В ситуациях, когда обсуждаются как дробные, так и обычные идеалы кольца, последние иногда для ясности называют целостными идеалами.

Домены дедекинда

В областях Дедекинда ситуация значительно проще. В частности, каждый ненулевой дробный идеал обратим. Более того, это свойство характеризует области Дедекинда: интегральный домен является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда каждый ненулевой дробный идеал обратим. Множество дробных идеалов над областью Дедекинда обозначается, а его факторгруппа по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом области Дедекинда, называемым группой классов идеалов.

Поля с номерами

Для специального случая числовых полей (таких как ) существует связанное с ним кольцо, обозначаемое , называемое кольцом целых чисел поля . Например, для квадратного числа, взаимно простого с . Ключевым свойством этих колец является то, что они являются областями Дедекинда. Следовательно, теория дробных идеалов может быть описана для колец целых чисел числовых полей. Фактически, теория классовых полей изучает такие группы классовых колец.

Связанные структуры

Для кольца целых чисел pg 2 числового поля группа дробных идеалов образует группу, обозначаемую , а подгруппа главных дробных идеалов обозначается . Группа классов идеалов — это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, то есть

и её число классов — это порядок группы. В некотором смысле, число классов является мерой того, насколько "далеко" кольцо целых чисел от области однозначной факторизации (UFD). Это верно тогда и только тогда, когда является областью однозначной факторизации.