Введение

Коммутативное кольцо с евклидовым делением

В математике, в частности в теории колец, евклидово домен (также называемое евклидовым кольцом) — это целостное домен, который можно снабдить евклидовой функцией, позволяющей подходящее обобщение евклидова деления целых чисел. Этот обобщённый алгоритм Евклида может быть применён ко многим задачам, аналогичным тем, для которых используется оригинальный алгоритм Евклида в кольце целых чисел: в любом евклидовом домене можно применить алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя любых двух элементов. В частности, наибольший общий делитель любых двух элементов существует и может быть представлен в виде линейной комбинации этих элементов (тождество Безу). Кроме того, каждый идеал в евклидовом домене является главным, что подразумевает подходящее обобщение основной теоремы арифметики: каждый евклидов домен является областью однозначной факторизации. Важно сравнивать класс евклидовых доменов с более широким классом главных идеальных доменов (PID). Произвольный PID обладает почти теми же "структурными свойствами", что и евклидов домен (или даже кольцо целых чисел), но когда известен явный алгоритм евклидова деления, можно использовать алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей и тождества Безу. В частности, существование эффективных алгоритмов для евклидова деления целых чисел и многочленов от одной переменной над полем имеет фундаментальное значение в компьютерной алгебре. Таким образом, для заданного целостного домена R часто очень полезно знать, что R имеет евклидову функцию: в частности, это подразумевает, что R является PID. Однако, если "очевидной" евклидовой функции нет, то определение того, является ли R PID, как правило, гораздо более простая задача, чем определение того, является ли он евклидовым доменом. Евклидовы домены входят в следующую цепочку включений классов:

Свойства

Пусть R — область и f — евклидова функция на R. Тогда:

R является областью главных идеалов (ОГИ). Действительно, если I — ненулевой идеал R, то любой элемент a из I \ {0} с минимальным значением (на этом множестве) f(a) является образующим для I. Как следствие, R также является областью однозначных разложений и нётеровым кольцом. Что касается общих областей главных идеалов, то существование разложений (т. е. то, что R является атомной областью) особенно легко доказать в евклидовых областях: выбирая евклидову функцию f, удовлетворяющую (EF2), можно показать, что x не может иметь разложения на более чем f(x) неединичных множителей, поэтому, начиная с x и последовательно разлагая приводимые множители, обязательно получим разложение на неприводимые элементы. Любой элемент R, в котором f принимает глобально минимальное значение, является обратимым в R. Если выбрана f, удовлетворяющая (EF2), то обратное также верно, и f принимает своё минимальное значение именно в обратимых элементах R. Если евклидово деление алгоритмично, то есть существует алгоритм для вычисления частного и остатка, то расширенный алгоритм Евклида можно определить точно так же, как в случае целых чисел. Если евклидова область не является полем, то в ней существует элемент a со следующим свойством: любой элемент x, не делящийся на a, можно представить в виде x = ay + u для некоторой единицы u и некоторого элемента y. Это следует из выбора a как неединицы с минимальным возможным значением f(a). Это странное свойство можно использовать для доказательства того, что некоторые области главных идеалов не являются евклидовыми областями, поскольку не все ОГИ обладают этим свойством. Например, для d = −19, −43, −67, −163 кольцо целых чисел является ОГИ, которая не является евклидовой, но случаи d = −1, −2, −3, −7, −11 являются евклидовыми. Однако во многих конечных расширениях Q с тривиальной классовой группой кольцо целых чисел является евклидовым (не обязательно относительно абсолютной величины нормы поля; см. ниже). Предполагая расширенную гипотезу Римана, если K — конечное расширение Q и кольцо целых чисел K является ОГИ с бесконечным числом единиц, то кольцо целых чисел является евклидовым. В частности, это применимо к случаю вполне вещественных квадратичных числовых полей с тривиальной классовой группой. Кроме того (и без предположения ERH), если поле K является расширением Галуа над Q, имеет тривиальную классовую группу и ранг единиц строго больше трех, то кольцо целых чисел является евклидовым. Непосредственным следствием этого является то, что если числовое поле является расширением Галуа над Q, его классовая группа тривиальна, а расширение имеет степень больше 8, то кольцо целых чисел обязательно является евклидовым.