Введение

Идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом идеале, кроме самого кольца.
В математике, в частности в теории колец, максимальный идеал — это идеал, который является максимальным (по включению) среди всех собственных идеалов. Иными словами, I является максимальным идеалом кольца R, если не существует других идеалов, содержащихся между I и R.

Максимальные идеалы важны, поскольку факторкольца по максимальным идеалам являются простыми кольцами, а в частном случае унитальных коммутативных колец — полями. В некомутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в частично упорядоченном множестве собственных правых идеалов, и аналогично, максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент в частично упорядоченном множестве собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал A не обязательно является двусторонним, факторкольцо R/A не обязательно является кольцом, но оно является простым модулем над R. Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R называется локальным кольцом, а этот максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца, и фактически является радикалом Джейкобсона J(R). Возможно, чтобы в кольце был единственный максимальный двусторонний идеал, но не было единственных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце 2x2 квадратных матриц над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом, но существует множество максимальных правых идеалов.

Определение

Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Для кольца R и собственного идеала I в R (то есть I ≠ R), I является максимальным идеалом R, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: не существует другого собственного идеала J в R, такого что I ⊂ J. Для любого идеала J, содержащего I (I ⊆ J), либо J = I, либо J = R. Кольцо-фактор R/I является простым кольцом. Существует аналогичный список для односторонних идеалов, для которых будут приведены только варианты для правых идеалов. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом R: не существует другого собственного правого идеала B в R, такого что A ⊂ B. Для любого правого идеала B, содержащего A (A ⊆ B), либо B = A, либо B = R. Фактор-модуль R/A является простым правым R-модулем. Максимальные правые, левые и двусторонние идеалы являются двойственным понятием к минимальным идеалам.

Примеры

Если F – поле, то единственным максимальным идеалом является {0}. В кольце целых чисел Z максимальные идеалы – это главные идеалы, порожденные простым числом. В более общем случае, все ненулевые простые идеалы являются максимальными в области главных идеалов. Идеал является максимальным идеалом в кольце. Обычно максимальные идеалы имеют вид , где p – простое число, а f – многочлен, который является неприводимым по модулю p. Каждый простой идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, то есть в кольце, состоящем только из идемпотентных элементов. Фактически, каждый простой идеал является максимальным в коммутативном кольце R, если существует целое число n такое, что для любого a. Максимальные идеалы кольца многочленов K[x] являются главными идеалами, порожденными многочленом f(x) для некоторого f. В более общем случае, максимальные идеалы кольца многочленов K[x1, ..., xn] над алгебраически замкнутым полем K – это идеалы вида (x1 – a1, ..., xn – an). Этот результат известен как слабый теорема Нульстелленсац.

Свойства

Важный идеал кольца, называемый радикалом Джейкобсона, может быть определен с использованием максимальных правых (или максимальных левых) идеалов. Если R – унитальное коммутативное кольцо с идеалом m, то k = R/m является полем тогда и только тогда, когда m – максимальный идеал. В этом случае R/m называется полем вычетов. Этот факт может не выполняться в не-унитальных кольцах. Например, является максимальным идеалом в , но не является полем. Если L – максимальный левый идеал, то R/L – простой левый R-модуль. Обратно, в кольцах с единицей любой простой левый R-модуль возникает таким образом. Кстати, это показывает, что множество представителей простых левых R-модулей является множеством, поскольку его можно сопоставить с частью множества максимальных левых идеалов R. Теорема Крулла (1929): каждое ненулевое унитальное кольцо имеет максимальный идеал. Результат также верен, если "идеал" заменен на "правый идеал" или "левый идеал". В более общем случае, верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Пусть I – идеал, который не равен R (соответственно, A – правый идеал, который не равен R). Тогда R/I – кольцо с единицей (соответственно, R/A – конечно порожденный модуль), и поэтому вышеуказанные теоремы могут быть применены к факторкольцу, чтобы заключить, что существует максимальный идеал (соответственно, максимальный правый идеал) R, содержащий I (соответственно, A). Теорема Крулла может не выполняться для колец без единицы. Радикальное кольцо, то есть кольцо, в котором радикалом Джейкобсона является само кольцо, не имеет простых модулей и, следовательно, не имеет максимальных правых или левых идеалов. См. статью о регулярных идеалах для возможных способов обойти эту проблему. В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является простым идеалом. Обратное не всегда верно: например, в любой не-полевой целостной области нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы являются максимальными, называются кольцами нулевой размерности, где используемая размерность – размерность Крулла. Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть простым в коммутативном смысле. Например, пусть – кольцо всех матриц над . Это кольцо имеет максимальный идеал для любого простого числа , но это не простой идеал, поскольку (в случае ) и не принадлежат , но тем не менее, максимальные идеалы некоммутативных колец являются простыми в обобщенном смысле, который будет рассмотрен ниже.

Обобщение

Для R-модуля A, максимальный подмодуль M модуля A – это подмодуль M ≠ A, удовлетворяющий условию, что для любого другого подмодуля N, M ⊆ N ⊆ A влечет N = M или N = A. Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A/M является простым модулем. Максимальные правые идеалы кольца R являются точно максимальными подмодулями модуля RR. В отличие от колец с единицей, ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечалось выше, конечно порожденные ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а также проективные модули имеют максимальные подмодули. Подобно кольцам, можно определить радикал модуля, используя максимальные подмодули. Кроме того, максимальные идеалы можно обобщить, определив максимальный суббимодуль M бимодуля B как собственный суббимодуль M, не содержащийся ни в одном другом собственном суббимодуле B. Максимальные идеалы R тогда являются точно максимальными суббимодулями бимодуля RRR.