Идеалы в кольцах: поглощающие подгруппы и обобщения делимости

Введение

Аддитивная подгруппа математического кольца, поглощающая умножение

В математике, и в частности в теории колец, идеал кольца — это специальное подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел, такие как четные числа или кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняют четность, а умножение четного числа на любое целое число (четное или нечетное) дает четное число; эти свойства замкнутости и поглощения являются определяющими свойствами идеала. Идеал может быть использован для построения факторкольца подобно тому, как в теории групп нормальная подгруппа может быть использована для построения факторгруппы. Для целых чисел идеалы находятся во взаимно однозначном соответствии с неотрицательными целыми числами: в этом кольце каждый идеал является главным идеалом, состоящим из кратных единственного неотрицательного числа. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать напрямую элементам кольца, и некоторые свойства целых чисел, при обобщении на кольца, естественнее приписываются идеалам, чем элементам кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам, а китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует версия единственной разложности на простые множители для идеалов области Дедекинда (типа кольца, важного в теории чисел). Связанное, но отличное понятие идеала в теории порядка происходит из понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда называют целочисленными идеалами для ясности.

История

Эрнст Куммер ввёл понятие идеальных чисел, чтобы выступать в качестве "недостающих" факторов в кольцах чисел, где уникальная факторизация не выполняется; здесь слово "идеальный" используется в смысле существующего лишь в воображении, по аналогии с "идеальными" объектами в геометрии, такими как точки на бесконечности. В 1876 году Рихард Дедекинд заменил неопределённое понятие Куммера конкретными множествами чисел, которые он назвал идеалами, в третьем издании книги Дирихле «Vorlesungen über Zahlentheorie», к которой Дедекинд добавил множество дополнений. Позднее это понятие было расширено за пределы колец чисел на случай колец многочленов и других коммутативных колец Давидом Гильбертом и особенно Эмми Нётер.

Примеры и свойства

(В целях краткости некоторые результаты приводятся только для левых идеалов, но обычно верны и для правых идеалов с соответствующими изменениями в обозначениях.) В кольце R само множество R образует двусторонний идеал, называемый единичным идеалом. Его часто также обозначают как 1, поскольку это точно двусторонний идеал, порожденный (см. ниже) единицей 1 = 1R. Также множество, состоящее только из аддитивного нуля 0R, образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом, и обозначается как (0). Каждый (левый, правый или двусторонний) идеал содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале. Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (поскольку он является собственным подмножеством). Примечание: левый идеал является собственным тогда и только тогда, когда он не содержит единичный элемент, поскольку если он содержит единичный элемент, то для каждого r ∈ R существует элемент 1 = r. Обычно существует множество собственных идеалов. В самом деле, если R – скошенное поле, то его единственными идеалами являются (0) и R, и наоборот: то есть, ненулевое кольцо R является скошенным полем, если его единственными левыми (или правыми) идеалами являются (0) и R. (Доказательство: если x – ненулевой элемент, то основной левый идеал (x) (см. ниже) отличен от нуля и, следовательно, (x) = R, то есть xR = R для некоторого ненулевого y. Аналогично, Rx = R для некоторого ненулевого y. ) Четные числа образуют идеал в кольце всех целых чисел, поскольку сумма любых двух четных чисел четна, а произведение любого целого числа на четное число также четно; этот идеал обычно обозначается как 2ℤ. В более общем случае, множество всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число n, является идеалом, обозначаемым nℤ. В действительности, каждый ненулевой идеал кольца ℤ генерируется своим наименьшим положительным элементом как следствие евклидова деления, поэтому ℤ является областью главных идеалов. Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, делящихся на многочлен f(x), является идеалом в кольце всех многочленов с действительными коэффициентами ℝ[x]. Возьмем кольцо R и положительное целое число n. Для каждого 1 ≤ i ≤ n множество всех n × n матриц с элементами из R, у которых i-я строка равна нулю, является правым идеалом в кольце всех n × n матриц с элементами из R. Это не левый идеал. Аналогично, для каждого 1 ≤ j ≤ n множество всех n × n матриц, у которых j-й столбец равен нулю, является левым идеалом, но не правым идеалом. Кольцо всех непрерывных функций из X в R при поточечном умножении содержит идеал всех непрерывных функций f, таких что f(1) = 0. Другой идеал в C(X) задается функциями, которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументах, то есть непрерывными функциями f, для которых существует число L такое, что f(x) = 0, когда |x| > L. Кольцо называется простым, если оно ненулевое и не имеет двусторонних идеалов, отличных от (0) и R. Таким образом, скошенное поле простое, а простое коммутативное кольцо является полем. Матричное кольцо над скошенным полем является простым кольцом. Если f – гомоморфизм колец, то ядро ker(f) является двусторонним идеалом в R. По определению, f(1R) = 1S, и, следовательно, если S не является нулевым кольцом (то есть 1S ≠ 0S), то ker(f) является собственным идеалом. В более общем случае, для каждого левого идеала I в S, прообраз f⁻¹(I) является левым идеалом в R. Если I – левый идеал в R, то f⁻¹(I) является левым идеалом в подкольце f⁻¹(S) в S: если f не является сюръективным, то f⁻¹(I) не обязательно является идеалом в S; см. также #Расширение и сокращение идеала ниже. Соответствие идеалов: при наличии сюръективного гомоморфизма колец f: R → S существует биективное соответствие, сохраняющее порядок, между левыми (соответственно, правыми, двусторонними) идеалами в R, содержащими ядро f, и левыми (соответственно, правыми, двусторонними) идеалами в S. Соответствие задается J ↦ f(J) и f⁻¹(J). Кроме того, для коммутативных колец это биективное соответствие ограничивается простыми идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами (см. раздел «Типы идеалов» для определений этих идеалов). (Для тех, кто знаком с модулями) Если M – левый R-модуль, а S – его подмножество, то аннигилятор Ann(S) множества S является левым идеалом. При заданных идеалах a и b коммутативного кольца R, R-аннигилятор a : b является идеалом в R, называемым идеальным частным от a по b, и обозначается a : b; это пример идеализатора в коммутативной алгебре. Пусть I₁, I₂, … – возрастающая цепь левых идеалов в кольце R, то есть I₁ ⊆ I₂ ⊆ … и для каждого i < j. Тогда объединение ⋃ᵢ Iᵢ является левым идеалом в R. (Примечание: это утверждение остается верным, даже если R не имеет единицы 1.) Это утверждение вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если E – возможно, пустое подмножество R, а I – левый идеал, не пересекающийся с E, то существует идеал, максимальный среди идеалов, содержащих I и не пересекающихся с E. (Это также верно, если кольцо R не имеет единицы 1.) Когда E = {1}, в частности, существует левый идеал, максимальный среди собственных левых идеалов (часто называемый максимальным левым идеалом); см. теорему Крулля для получения дополнительной информации. Произвольное объединение идеалов не обязательно является идеалом, но следующее все еще верно: для любого возможно, пустого подмножества X в R существует наименьший левый идеал, содержащий X, называемый левым идеалом, порожденным X, и обозначаемый RX. Такой идеал существует, поскольку он является пересечением всех левых идеалов, содержащих X. Эквивалентно, RX – это множество всех (конечных) левых R-линейных комбинаций элементов из X над R:
RX = {r₁x₁ + … + rₙxₙ | rᵢ ∈ R, xᵢ ∈ X, n ∈ ℕ}.
Аналогично определяется правый (соответственно, двусторонний) идеал, порожденный X. Для «двустороннего» необходимо использовать линейные комбинации с обеих сторон, то есть
…
Левый (соответственно, правый, двусторонний) идеал, порожденный единственным элементом x, называется основным левым (соответственно, правым, двусторонним) идеалом, порожденным x, и обозначается (x) (соответственно, xR, RxR). Основной двусторонний идеал (x) часто также обозначается (x). Если X – конечное множество, то (X) также записывается как (x₁, …, xₙ). Существует биективное соответствие между идеалами и отношениями сравнения (отношениями эквивалентности, уважающими структуру кольца) на кольце: при заданном идеале I в кольце R определим x ~ y, если x – y ∈ I. Тогда ~ является отношением сравнения на R. И наоборот, при заданном отношении сравнения ~ на R определим I = {x ∈ R: x ~ 0}. Тогда I является идеалом в R.

(For the sake of brevity, some results are stated only for left ideals but are usually also true for right ideals with appropriate notation changes.) In a ring R, the set R itself forms a two sided ideal of R called the unit ideal. It is often also denoted by since it is precisely the two sided ideal generated (see below) by the unity 1= 1 R Also, the set consisting of only the additive identity 0R forms a two sided ideal called the zero ideal and is denoted by 1= (0) Every (left, right or two sided) ideal contains the zero ideal and is contained in the unit ideal. An (left, right or two sided) ideal that is not the unit ideal is called a proper ideal (as it is a proper subset). Note: a left ideal is proper if and only if it does not contain a unit element, since if is a unit element, then for every 1= r \in R Typically there are plenty of proper ideals. In fact, if R is a skew field, then are its only ideals and conversely: that is, a nonzero ring R is a skew field if are the only left (or right) ideals. (Proof: if is a nonzero element, then the principal left ideal (see below) is nonzero and thus ; i. e., for some nonzero 1= y Likewise, for some nonzero Then .) The even integers form an ideal in the ring of all integers, since the sum of any two even integers is even, and the product of any integer with an even integer is also even; this ideal is usually denoted by 1= 2\mathbb{Z} More generally, the set of all integers divisible by a fixed integer is an ideal denoted 1= n\mathbb{Z} In fact, every non zero ideal of the ring is generated by its smallest positive element, as a consequence of Euclidean division, so is a principal ideal domain. The set of all polynomials with real coefficients that are divisible by the polynomial is an ideal in the ring of all real coefficient polynomials 1= \mathbb{R}[x] Take a ring and positive integer 1= n For each 1= 1\leq i\leq n , the set of all matrices with entries in whose th row is zero is a right ideal in the ring of all matrices with entries in 1= R It is not a left ideal. Similarly, for each 1= 1\leq j\leq n , the set of all matrices whose th column is zero is a left ideal but not a right ideal. The ring of all continuous functions from to under pointwise multiplication contains the ideal of all continuous functions such that 1= f(1)=0 Another ideal in is given by those functions that vanish for large enough arguments, i. e. those continuous functions for which there exists a number such that whenever 1= \vert x \vert >L A ring is called a simple ring if it is nonzero and has no two sided ideals other than 1= (0), (1) Thus, a skew field is simple and a simple commutative ring is a field. The matrix ring over a skew field is a simple ring. If is a ring homomorphism, then the kernel is a two sided ideal of 1= R By definition, 1= f(1 R) = 1 S , and thus if is not the zero ring (so 1= 1 S\ne0 S ), then is a proper ideal. More generally, for each left ideal I of S, the pre image is a left ideal. If I is a left ideal of R, then is a left ideal of the subring of S: unless f is surjective, need not be an ideal of S; see also #Extension and contraction of an ideal below. Ideal correspondence: Given a surjective ring homomorphism 1= f: R \to S , there is a bijective order preserving correspondence between the left (resp. right, two sided) ideals of containing the kernel of and the left (resp. right, two sided) ideals of : the correspondence is given by and the pre image 1= J \mapsto f^{ 1}(J) Moreover, for commutative rings, this bijective correspondence restricts to prime ideals, maximal ideals, and radical ideals (see the Types of ideals section for the definitions of these ideals). (For those who know modules) If M is a left R module and a subset, then the annihilator of S is a left ideal. Given ideals of a commutative ring R, the R annihilator of is an ideal of R called the ideal quotient of by and is denoted by 1= (\mathfrak{a} : \mathfrak{b}) ; it is an instance of idealizer in commutative algebra. Let be an ascending chain of left ideals in a ring R; i. e., is a totally ordered set and for each 1= i < j Then the union is a left ideal of R. (Note: this fact remains true even if R is without the unity 1.) The above fact together with Zorn's lemma proves the following: if is a possibly empty subset and is a left ideal that is disjoint from E, then there is an ideal that is maximal among the ideals containing and disjoint from E. (Again this is still valid if the ring R lacks the unity 1.) When , taking and 1= E = \{ 1 \} , in particular, there exists a left ideal that is maximal among proper left ideals (often simply called a maximal left ideal); see Krull's theorem for more. An arbitrary union of ideals need not be an ideal, but the following is still true: given a possibly empty subset X of R, there is the smallest left ideal containing X, called the left ideal generated by X and is denoted by 1= RX Such an ideal exists since it is the intersection of all left ideals containing X. Equivalently, is the set of all the (finite) left R linear combinations of elements of X over R:

(since such a span is the smallest left ideal containing X.) A right (resp. two sided) ideal generated by X is defined in the similar way. For "two sided", one has to use linear combinations from both sides; i. e.,

A left (resp. right, two sided) ideal generated by a single element x is called the principal left (resp. right, two sided) ideal generated by x and is denoted by (resp. 1= xR, RxR ). The principal two sided ideal is often also denoted by 1= (x) If is a finite set, then is also written as 1= (x 1, \dots, x n) There is a bijective correspondence between ideals and congruence relations (equivalence relations that respect the ring structure) on the ring: Given an ideal of a ring 1= R , let if 1= x y\in I Then is a congruence relation on 1= R Conversely, given a congruence relation on 1= R , let 1= I=\{x\in R:x\sim 0\} Then is an ideal of 1= R .

Типы идеалов

Для упрощения описания все кольца считаются коммутативными. Некоммутативный случай подробно рассматривается в соответствующих статьях. Идеалы важны, поскольку они возникают как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определить факторкольца. Изучаются различные типы идеалов, так как они могут быть использованы для построения различных типов факторколец. Максимальный идеал: Правильный идеал I называется максимальным, если не существует другого правильного идеала J, содержащего I в качестве собственного подмножества. Факторкольцо по максимальному идеалу обычно является простым кольцом, а для коммутативных колец – полем. Минимальный идеал: Ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит других ненулевых идеалов. Простой идеал: Правильный идеал называется простым, если для любых a и b из R \ {1}, если ab принадлежит I, то хотя бы один из a или b принадлежит I. Факторкольцо по простому идеалу обычно является простым кольцом, а для коммутативных колец – областью целостности. Радикальный или полупростой идеал: Правильный идеал I называется радикальным или полупростым, если для любого a из R, если aⁿ принадлежит I для некоторого n, то a принадлежит I. Факторкольцо по радикальному идеалу является полупростым кольцом в общем случае и редуцированным кольцом для коммутативных колец. Первичный идеал: Идеал I называется первичным, если для всех a и b из R, если ab принадлежит I, то либо a принадлежит I, либо bⁿ принадлежит I для некоторого натурального числа n. Любой простой идеал является первичным, но не наоборот. Полупростой первичный идеал является простым. Главный идеал: Идеал, порожденный одним элементом. Конечно порожденный идеал: Этот тип идеала конечно порожден как модуль. Примитивный идеал: Левый примитивный идеал – это аннигилятор простого левого модуля. Неприводимый идеал: Идеал называется неприводимым, если его нельзя представить в виде пересечения идеалов, строго содержащих его. Комаксимальные идеалы: Два идеала I и J называются комаксимальными, если существует a из I и b из J такие, что ab = 1. Регулярный идеал: Этот термин имеет несколько значений. Список приведен в статье. Ниль-идеал: Идеал называется ниль-идеалом, если каждый его элемент нильпотентен. Нильпотентный идеал: Некоторые его степени равны нулю. Параметрический идеал: Идеал, порожденный системой параметров. Совершенный идеал: Правильный идеал I в нётеровом кольце называется совершенным, если его глубина равна проективной размерности факторкольца R/I, то есть глубина(I) = пролд(R/I). Совершенный идеал не смешан. Несмешанный идеал: Правильный идеал I в нётеровом кольце называется несмешанным (по высоте), если высота I равна высоте каждого ассоциированного простого идеала P из R/I. (Это сильнее, чем требование, чтобы R/I было равномерным. См. также равномерное кольцо.) Два других важных термина, использующих слово "идеал", не всегда являются идеалами в своем кольце. Подробности см. в соответствующих статьях: Дробный идеал: Обычно определяется, когда R – коммутативная область с полем частных K. Несмотря на название, дробные идеалы – это R-подмодули K, обладающие специальным свойством. Если дробный идеал полностью содержится в R, то он является обычным идеалом в R. Обратимый идеал: Обычно обратимый идеал A определяется как дробный идеал, для которого существует другой дробный идеал B, такой что AB = BA = R. Некоторые авторы могут также применять термин "обратимый идеал" к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от областей.

To simplify the description all rings are assumed to be commutative. The non commutative case is discussed in detail in the respective articles. Ideals are important because they appear as kernels of ring homomorphisms and allow one to define factor rings. Different types of ideals are studied because they can be used to construct different types of factor rings. Maximal ideal: A proper ideal I is called a maximal ideal if there exists no other proper ideal J with I a proper subset of J. The factor ring of a maximal ideal is a simple ring in general and is a field for commutative rings. Minimal ideal: A nonzero ideal is called minimal if it contains no other nonzero ideal. Prime ideal: A proper ideal is called a prime ideal if for any and in 1= R , if is in 1= I , then at least one of and is in 1= I The factor ring of a prime ideal is a prime ring in general and is an integral domain for commutative rings. Radical ideal or semiprime ideal: A proper ideal I is called radical or semiprime if for any a in R, if an is in I for some n, then a is in I. The factor ring of a radical ideal is a semiprime ring for general rings, and is a reduced ring for commutative rings. Primary ideal: An ideal I is called a primary ideal if for all a and b in R, if ab is in I, then at least one of a and bn is in I for some natural number n. Every prime ideal is primary, but not conversely. A semiprime primary ideal is prime. Principal ideal: An ideal generated by one element. Finitely generated ideal: This type of ideal is finitely generated as a module. Primitive ideal: A left primitive ideal is the annihilator of a simple left module. Irreducible ideal: An ideal is said to be irreducible if it cannot be written as an intersection of ideals that properly contain it. Comaximal ideals: Two ideals I, J are said to be comaximal if for some and 1= y \in J Regular ideal: This term has multiple uses. See the article for a list. Nil ideal: An ideal is a nil ideal if each of its elements is nilpotent. Nilpotent ideal: Some power of it is zero. Parameter ideal: an ideal generated by a system of parameters. Perfect ideal: A proper ideal I in a Noetherian ring is called a perfect ideal if its grade equals the projective dimension of the associated quotient ring, 1= \textrm{grade}(I)=\textrm{proj}\dim(R/I) A perfect ideal is unmixed. Unmixed ideal: A proper ideal I in a Noetherian ring is called an unmixed ideal (in height) if the height of I is equal to the height of every associated prime P of R/I. (This is stronger than saying that R/I is equidimensional. See also equidimensional ring. Two other important terms using "ideal" are not always ideals of their ring. See their respective articles for details:
Fractional ideal: This is usually defined when R is a commutative domain with quotient field K. Despite their names, fractional ideals are R submodules of K with a special property. If the fractional ideal is contained entirely in R, then it is truly an ideal of R.
Invertible ideal: Usually an invertible ideal A is defined as a fractional ideal for which there is another fractional ideal B such that 1=AB = BA = R. Some authors may also apply "invertible ideal" to ordinary ring ideals A and B with 1=AB = BA = R in rings other than domains.