Введение

Алгебраическая структура
В математике, основной идеальный домен, или PID, — это целостный домен, в котором каждый идеал является главным, то есть может быть порождён одним элементом. В более общем смысле, главное идеальное кольцо — это ненулевое коммутативное кольцо, чьи идеалы являются главными, хотя некоторые авторы (например, Бурбаки) называют PID главными кольцами. Различие состоит в том, что главное идеальное кольцо может содержать делители нуля, в то время как основной идеальный домен не может. Основные идеальные домены — это математические объекты, которые в отношении делимости ведут себя отчасти как целые числа: любой элемент основного идеального домена имеет единственное разложение на простые элементы (следовательно, справедлив аналог основной теоремы арифметики); любые два элемента основного идеального домена имеют наибольший общий делитель (хотя найти его с помощью алгоритма Евклида может быть невозможно). Если x и y — элементы основного идеального домена без общих делителей, то любой элемент этого домена можно представить в виде ax + by. Основные идеальные домены являются нётеровыми, они интегрально замкнуты, они являются областями однозначной факторизации и областями Дедекинда. Все евклидовы области и все поля являются основными идеальными областями. Основные идеальные домены входят в следующую цепочку включений классов:

Свойства

В области основного идеала любые два элемента a и b имеют наибольший общий делитель, который можно получить как генератор идеала (a, b). Все евклидовы домены являются основными идеальными доменами, но обратное неверно. Примером основного идеального домена, не являющегося евклидовым доменом, является кольцо , это было доказано Теодором Моцкиным и является первым известным случаем. В этом домене не существуют такие q и r, чтобы , при этом и имели наибольший общий делитель, равный 2. Каждый основной идеальный домен является областью однозначной факторизации (UFD). Обратное неверно, поскольку для любой UFD K кольцо K[X, Y] многочленов от двух переменных является UFD, но не является PID. (Для доказательства этого рассмотрите идеал, порожденный . Он не является всем кольцом, так как не содержит многочленов степени 0, но не может быть порожден ни одним отдельным элементом.) Каждый основной идеальный домен является нётеровым. Во всех унитальных кольцах максимальные идеалы являются простыми. В основных идеальных доменах почти обратное утверждение верно: каждый ненулевой простой идеал является максимальным. Все основные идеальные домены являются интегрально замкнутыми. Предыдущие три утверждения дают определение домена Дедекинда, и, следовательно, каждый основной идеальный домен является доменом Дедекинда. Пусть A — интегральный домен. Тогда следующие утверждения эквивалентны: A является PID. Каждый простой идеал A является основным. A является доменом Дедекинда, который является UFD. Каждый конечно порожденный идеал A является основным (то есть A является доменом Безу) и A удовлетворяет условию восходящей цепи на основных идеалах. A допускает норму Дедекинда — Хассе. Любая евклидова норма является нормой Дедекинда — Хассе; таким образом, (5) показывает, что евклидов домен является PID. (4) сопоставимо со следующим: интегральный домен является UFD тогда и только тогда, когда это GCD-домен (то есть домен, в котором для любых двух элементов существует наибольший общий делитель), удовлетворяющий условию восходящей цепи на основных идеалах. Интегральный домен является доменом Безу тогда и только тогда, когда любые два элемента в нем имеют НОД, являющийся линейной комбинацией этих двух элементов. Таким образом, домен Безу является GCD-доменом, а (4) дает еще одно доказательство того, что PID является UFD.