Введение
Число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений метрического тензора
В математике, сигнатура (v, p, r) метрического тензора g (или, эквивалентно, вещественная квадратичная форма, рассматриваемая как вещественная симметричная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве) — это число (с учётом кратности) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений вещественной симметричной матрицы gab метрического тензора относительно базиса. В релятивистской физике v обычно обозначает число временных или виртуальных измерений, а p — число пространственных или физических измерений. Альтернативно, сигнатуру можно определить как размерности максимального положительного и нулевого подпространств. Согласно закону инерции Сильвестра эти числа не зависят от выбора базиса и, следовательно, могут быть использованы для классификации метрики. Сигнатура часто обозначается парой целых чисел (v, p), подразумевающей r = 0, или как явный перечень знаков собственных значений, таких как (+, −, −, −) или (−, +, +, +) для сигнатур (1, 3, 0) и (3, 1, 0) соответственно. Сигнатура называется неопределённой или смешанной, если и v, и p отличны от нуля, и вырожденной, если r отлично от нуля. Риманова метрика — это метрика с положительно определённой сигнатурой (v, 0). Лоренцева метрика — это метрика с сигнатурой (p, 1) или (1, p). Существует также другое понятие сигнатуры вырожденного метрического тензора, задаваемое одним числом s, определяемым как (v − p), где v и p — как указано выше, что эквивалентно вышеуказанному определению, когда размерность n = v + p задана или подразумевается. Например, s = 1 − 3 = −2 для (+, −, −, −) и её зеркальное отражение s' = −s = +2 для (−, +, +, +).
In mathematics, the signature (v, p, r) of a metric tensor g (or equivalently, a real quadratic form thought of as a real symmetric bilinear form on a finite dimensional vector space) is the number (counted with multiplicity) of positive, negative and zero eigenvalues of the real symmetric matrix gab of the metric tensor with respect to a basis. In relativistic physics, v conventionally represents the number of time or virtual dimensions, and p the number of space or physical dimensions. Alternatively, it can be defined as the dimensions of a maximal positive and null subspace. By Sylvester's law of inertia these numbers do not depend on the choice of basis and thus can be used to classify the metric. The signature is often denoted by a pair of integers (v, p) implying r = 0, or as an explicit list of signs of eigenvalues such as (+, −, −, −) or (−, +, +, +) for the signatures (1, 3, 0) and (3, 1, 0), respectively. The signature is said to be indefinite or mixed if both v and p are nonzero, and degenerate if r is nonzero. A Riemannian metric is a metric with a positive definite signature (v, 0). A Lorentzian metric is a metric with signature (p, 1), or (1, p). There is another notion of signature of a nondegenerate metric tensor given by a single number s defined as (v − p), where v and p are as above, which is equivalent to the above definition when the dimension n = v + p is given or implicit. For example, s = 1 − 3 = −2 for (+, −, −, −) and its mirroring s' = −s = +2 for (−, +, +, +).
Определение
Подпись метрического тензора определяется как подпись соответствующей квадратичной формы. Это тройка чисел (v, p, r), представляющая количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений любой матрицы (то есть, в любой базисе для лежащего в основе векторного пространства), представляющей эту форму, с учетом их алгебраических кратностей. Обычно требуется, чтобы v + p + r = n, где n – размерность векторного пространства, что эквивалентно требованию, чтобы метрический тензор был вырожденным, то есть не существовало бы ненулевого вектора, ортогонального всем векторам. Согласно закону инерции Сильвестра, числа (v, p, r) не зависят от выбора базиса.
Подпись и размер
По спектральной теореме симметричная матрица размера n × n над действительными числами всегда диагонализуема и, следовательно, имеет ровно n вещественных собственных значений (с учетом алгебраической кратности). Таким образом, 1 = v + p = n = dim(V).
Закон инерции Сильвестра: независимость выбора основы и существование ортонормальной основы
Согласно закону инерции Сильвестра, сигнатура скалярного произведения (также известного как вещественная симметричная билинейная форма), g не зависит от выбора базиса. Более того, для каждой метрики g сигнатуры (v, p, r) существует базис, такой что gab = +1 для a = b = 1, …, v, gab = −1 для a = b = v + 1, …, v + p и gab = 0 в остальных случаях. Из этого следует, что изометрия (V1, g1) → (V2, g2) существует тогда и только тогда, когда сигнатуры g1 и g2 равны. Аналогично, сигнатура одинакова для двух конгруэнтных матриц и классифицирует матрицу с точностью до конгруэнтности. Эквивалентно, сигнатура постоянна на орбитах общей линейной группы GL(V) на пространстве симметричных ковариантных тензоров ранга 2 S²V* и классифицирует каждую орбиту.
1=gab = +1 for 1=a = b = 1, , v, 1=gab = −1 for 1=a = b = v + 1, , v + p and 1=gab = 0 otherwise. It follows that there exists an isometry (V1, g1) → (V2, g2) if and only if the signatures of g1 and g2 are equal. Likewise the signature is equal for two congruent matrices and classifies a matrix up to congruency. Equivalently, the signature is constant on the orbits of the general linear group GL(V) on the space of symmetric rank 2 contravariant tensors S2V∗ and classifies each orbit.
Геометрическая интерпретация индексов
Число v (соответственно, p) — максимальная размерность векторного подпространства, на котором скалярное произведение g является положительно определенным (соответственно, отрицательно определенным), а r — размерность радикала скалярного произведения g, или нулевого подпространства симметричной матрицы gab, соответствующей скалярному произведению. Таким образом, невырожденное скалярное произведение имеет сигнатуру (v, p, 0), при этом v + p = n. Дуальность особых случаев (v, p, 0) соответствует двум скалярным собственным значениям, которые могут быть преобразованы друг в друга посредством взаимного отражения.
Как рассчитать подпись
Существуют различные методы вычисления сигнатуры матрицы. Для любой вырожденной симметричной матрицы размера n × n можно выполнить диагонализацию (или найти все собственные значения) и подсчитать количество положительных и отрицательных собственных значений. Для симметричной матрицы характеристический полином имеет только действительные корни, знаки которых в некоторых случаях можно полностью определить по правилу знаков Декарта. Алгоритм Лагранжа позволяет вычислить ортогональный базис и, следовательно, получить диагональную матрицу, конгруэнтную исходной (то есть имеющую ту же сигнатуру): сигнатура диагональной матрицы равна количеству положительных, отрицательных и нулевых элементов на её главной диагонали. Согласно критерию Якоби, симметричная матрица является положительно определённой тогда и только тогда, когда все определители её главных миноров положительны.
Изменение подписи
Если метрика регулярна всюду, то её сигнатура постоянна. Однако, если рассматривать метрики, которые вырождены или разрывны на некоторых гиперповерхностях, то сигнатура метрики может изменяться на этих гиперповерхностях. Такие метрики, меняющие сигнатуру, потенциально могут найти применение в космологии и квантовой гравитации.