Пространственные группы симметрии: Классификация и история изучения

Введение

Группа симметрии конфигурации в пространстве

В математике, физике и химии группа пространства — это группа симметрии повторяющейся структуры в пространстве, как правило, в трех измерениях. Элементы группы пространства (ее операции симметрии) представляют собой жесткие преобразования структуры, оставляющие ее неизменной. В трех измерениях группы пространства классифицируются на 219 различных типов, или 230 типов, если учитывать хиральные варианты как различные. Группы пространства — это дискретные кокомпактные группы изометрий ориентированного евклидова пространства в любом числе измерений. В измерениях, отличных от трех, они иногда называются группами Бибербаха. В кристаллографии группы пространства также называют кристаллографическими или группами Федорова и служат для описания симметрии кристалла. Авторитетным источником информации о трехмерных группах пространства является Международная таблица кристаллографии.

История

Космические группы в двух измерениях – это 17 групп обоев, известные на протяжении нескольких столетий, хотя доказательство полноты этого списка было получено лишь в 1891 году, после того как была в значительной степени завершена гораздо более сложная классификация космических групп в трех измерениях. В 1879 году немецкий математик Леонхард Зонке перечислил 65 пространственных групп (называемых группами Зонке), элементы которых сохраняют хиральность. Точнее, он перечислил 66 групп, но русский математик и кристаллограф Евграф Федоров, а также немецкий математик Артур Мориц Шёнфлис отметили, что две из них на самом деле совпадают. Пространственные группы в трех измерениях были впервые перечислены Федоровым в 1891 году (в его списке было два упущения – I3d и Fdd2, и одно дублирование – Fmm2), а вскоре после этого, также в 1891 году, независимо перечислены Шёнфлисом (в его списке было четыре упущения – I3d, Pc, Cc и одна неизвестная группа, и одно дублирование – P21m). Правильный список из 230 пространственных групп был составлен к 1892 году в ходе переписки между Федоровым и Шёнфлисом. Позднее Барлоу перечислил группы другим методом, но пропустил четыре группы (Fdd2, I2d, P21d и P21c), хотя у него уже был правильный список из 230 групп, предоставленный Федоровым и Шёнфлисом; распространенное мнение о том, что Барлоу не знал об их работе, не соответствует действительности. В книге подробно описана история открытия пространственных групп.

Элементы

Пространственные группы в трех измерениях формируются из комбинаций 32 кристаллографических точечных групп с 14 решетками Браве, каждая из которых относится к одной из 7 кристаллических систем. Это означает, что действие любого элемента заданной пространственной группы может быть выражено как действие элемента соответствующей точечной группы, за которым опционально следует трансляция. Таким образом, пространственная группа представляет собой некоторую комбинацию трансляционной симметрии элементарной ячейки (включая центрирование решетки), операций симметрии точечной группы – отражения, вращения и несобственного вращения (также называемого ротоинверсией), а также операций симметрии винтовых осей и плоскостей скольжения. Комбинация всех этих операций симметрии дает в итоге 230 различных пространственных групп, описывающих все возможные типы симметрии кристаллов. Число повторений асимметричной части в элементарной ячейке равно числу узлов решетки в ячейке, умноженному на порядок точечной группы. Это число изменяется от 1 для пространственной группы P1 до 192 для пространственной группы, например, Fmm, соответствующей структуре NaCl.

Элементы фиксации точки

Элементами пространственной группы, фиксирующими точку пространства, являются тождественный элемент, отражения, вращения и несобственные вращения, включая инверсионные центры.

Переводы

Переводы образуют нормальную абелеву подгруппу ранга 3, называемую решеткой Браве (названной в честь французского физика Огюста Браве). Существует 14 возможных типов решеток Браве. Факторгруппа пространственной группы по решетке Браве является конечной группой, которая является одной из 32 возможных точечных групп.

Сплавные самолеты

Плоскость скольжения – это отражение в плоскости, за которым следует трансляция, параллельная этой плоскости. Это обозначается , , или , в зависимости от оси, вдоль которой происходит скольжение. Существует также скольжение , которое представляет собой скольжение вдоль половины диагонали грани, и скольжение , которое представляет собой скольжение на четверть длины либо грани, либо пространственной диагонали элементарной ячейки. Последнее называется алмазной плоскостью скольжения, поскольку оно встречается в алмазной структуре. В 17 пространственных группах, из-за центрирования ячейки, скольжения происходят одновременно в двух перпендикулярных направлениях, то есть одна и та же плоскость скольжения может быть обозначена как b или c, a или b, a или c. Например, группа Abm2 может также называться Acm2, группа Ccca – Cccb. В 1992 году было предложено использовать символ e для таких плоскостей. Символы для пяти пространственных групп были изменены:
Номер пространственной группы 39 41 64 67 68 Новый символ Aem2 Aea2 Cmce Cmme Ccce Старый символ Abm2 Aba2 Cmca Cmma Ccca

Штучные топоры

Винтовая ось — это вращение вокруг оси, за которым следует трансляция вдоль направления этой оси. Она обозначается числом *n*, определяющим степень вращения, где это число указывает, сколько операций необходимо выполнить для совершения полного оборота (например, 3 означает вращение на одну треть вокруг оси при каждой операции). Величина трансляции указывается индексом, показывающим, на какую долю вектора параллельной решетки происходит сдвиг вдоль оси. Таким образом, 2₁ обозначает двойное вращение, за которым следует трансляция на 1/2 вектора решетки.

Хиральность

65 пространственных групп Зонке, не содержащих зеркал, центров инверсии, несобственных вращений или плоскостей скольжения, приводят к образованию хиральных кристаллов, не совпадающих со своим зеркальным отражением; в то время как пространственные группы, включающие хотя бы один из этих элементов, приводят к образованию ахиральных кристаллов. Ахиральные молекулы иногда образуют хиральные кристаллы, но хиральные молекулы всегда образуют хиральные кристаллы, кристаллизуясь в одной из пространственных групп, допускающих это. Среди 65 групп Зонке 22 образуют 11 энантиоморфных пар.

Комбинации

В пространственной группе возможны лишь определенные комбинации элементов симметрии. Переносы всегда присутствуют, и пространственная группа P1 содержит только переносы и элемент тождества. Наличие плоскостей зеркального отражения подразумевает также наличие плоскостей скольжения, а наличие осей вращения – винтовых осей, но обратное не всегда верно. Наличие инверсии и плоскости зеркального отражения подразумевает наличие двухкратных винтовых осей и так далее.

Теоремы Бибербаха

В n измерениях аффинная группа пространства, или группа Бибербаха, является дискретной подгруппой изометрий n-мерного евклидова пространства с компактным фундаментальным доменом. Доказано, что подгруппа сдвигов любой такой группы содержит n линейно независимых сдвигов и является свободной абелевой подгруппой конечного индекса, а также единственной максимальной нормальной абелевой подгруппой. Также показано, что в любом измерении n существует лишь конечное число возможностей для класса изоморфизма основной группы пространственной группы, и, более того, действие группы на евклидово пространство уникально с точностью до конъюгации аффинными преобразованиями. Это частично решает восемнадцатую проблему Гильберта. Показано, что, наоборот, любая группа, являющаяся расширением Zn по конечной группе, действующей верно, является аффинной группой пространства. Комбинируя эти результаты, получаем, что классификация пространственных групп в n измерениях с точностью до конъюгации аффинными преобразованиями по существу эквивалентна классификации классов изоморфизма групп, являющихся расширениями Zn по конечной группе, действующей верно. В теоремах Бибербаха существенно предположение о том, что группа действует как изометрия; теоремы не обобщаются на дискретные кокомпактные группы аффинных преобразований евклидова пространства. Контрпример представляет собой 3-мерная группа Гейзенберга целых чисел, действующая сдвигами на группу Гейзенберга действительных чисел, отождествляемую с 3-мерным евклидовым пространством. Это дискретная кокомпактная группа аффинных преобразований пространства, но не содержит подгруппу Z3.

Таблица групп пространства в трех измерениях

№ (номер группы пространства) Кристаллическая система, (количество), решетка Бравеса Группа точек Пространственные группы (международный короткий символ) Int'l Schön. Орбифолд Кокса. Орд. 1Триклинная (2) 1 C1 11[ ]+1 P1 2 Ci1×[2+,2+]2P 3–5Моноклинная (13) 2 C2 22 [2]+ 2P2, P21C2 6–9 m Cs *11 [ ]2Pm, PcCm, Cc 10–15 2/m C2h 2* [2,2+]4P2/m, P21/mC2/m, P2/c, P21/cC2/c 16–24Орторомбическая (59) 222 D2 222 [2,2]+4P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121 25–46 mm2 C2v *22 [2]4Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2Fmm2, Fdd2Imm2, Iba2, Ima2 47–74 mmm D2h *222 [2,2]8Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, PnmaCmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, CcceFmmm, FdddImmm, Ibam, Ibca, Imma 75–80Тетрагональная (68) 4 C4 44[4]+4P4, P41, P42, P43, I4, I41 81–82 S42×[2+,4+]4P, I 83–88 4/m C4h4*[2,4+]8P4/m, P42/m, P4/n, P42/nI4/m, I41/a 89–98 422 D4224[2,4]+8P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212I422, I4122 99–110 4mm C4v*44[4]8P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bcI4mm, I4cm, I41md, I41cd 111–122 2m D2d2*2[2+,4]8P2m, P2c, P21m, P21c, Pm2, Pc2, Pb2, Pn2Im2, Ic2, I2m, I2d 123–142 4/mmm D4h*224[2,4]16P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncmI4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd 143–146Тригональная (25) 3 C3 33[3]+3P3, P31, P32R3 147–148 S63×[2+,6+]6P, R 149–155 32 D3223[2,3]+6P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221R32 156–161 3m C3v*33[3]6P3m1, P31m, P3c1, P31cR3m, R3c 162–167 m D3d2*3[2+,6]12P1m, P1c, Pm1, Pc1Rm, Rc 168–173Гексагональная (27) 6 C6 66[6]+6P6, P61, P65, P62, P64, P63 174 C3h3*[2,3+]6P 175–176 6/m C6h6*[2,6+]12P6/m, P63/m 177–182 622 D6226[2,6]+12P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 183–186 6mm C6v*66[6]12P6mm, P6cc, P63cm, P63mc 187–190 m2 D3h*223[2,3]12Pm2, Pc2, P2m, P2c 191–194 6/mmm D6h*226[2,6]24P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc 195–199Кубическая (36) 23 T3 32[3,3]+12P23, F23, I23P213, I213 200–206 m Th 3*2[3+,4]24Pm, Pn, Fm, Fd, Im, Pa, Ia 207–214 432 O432[3,4]+24P432, P4232F432, F4132I432P4332, P4132, I4132 215–220 3m Td *332[3,3]24P3m, F3m, I3mP3n, F3c, I3d 221–230 mm Oh *432[3,4]48Pmm, Pnn, Pmn, PnmFmm, Fmc, Fdm, FdcImm, Iad