Введение

Группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.

В математике группа Ли (произносится /l//iː/ ЛИ) — это группа, которая также является дифференцируемым многообразием, причём групповое умножение и взятие обратных элементов дифференцируемы. Многообразие — это пространство, локально подобное евклидову пространству, в то время как группы определяют абстрактное понятие бинарной операции вместе с дополнительными свойствами, необходимыми для её рассмотрения как «преобразования» в абстрактном смысле, например, умножение и взятие обратных (деление), или, эквивалентно, понятие сложения и взятие обратных (вычитание). Объединяя эти две идеи, получаем непрерывную группу, в которой умножение точек и взятие их обратных непрерывны. Если умножение и взятие обратных также гладкие (дифференцируемые), то получается группа Ли. Группы Ли предоставляют естественную модель для понятия непрерывной симметрии, ярким примером которой является круговая группа. Вращение окружности является примером непрерывной симметрии. Для любого вращения окружности существует одна и та же симметрия, а последовательное применение таких вращений формирует круговую группу — архетипический пример группы Ли. Группы Ли широко используются во многих областях современной математики и физики. Впервые группы Ли были обнаружены при изучении подгрупп матриц, содержащихся в GL(n,ℝ) или GL(n,ℂ), группах обратимых матриц над ℝ или ℂ. Эти группы теперь называются классическими группами, поскольку концепция была значительно расширена за пределы этих первоначальных рамок. Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли (1842–1899), который заложил основы теории непрерывных групп преобразований. Первоначальной мотивацией Ли для введения групп Ли было моделирование непрерывных симметрий дифференциальных уравнений, аналогично тому, как конечные группы используются в теории Галуа для моделирования дискретных симметрий алгебраических уравнений.

Обзор

Группы Ли — это гладкие дифференцируемые многообразия, и как таковые могут изучаться с помощью дифференциального исчисления, в отличие от более общих топологических групп. Одна из ключевых идей в теории групп Ли состоит в замене глобального объекта — группы — её локальной или линеаризованной версией, которую сам Ли назвал своей «инфинитезимальной группой», а впоследствии она стала известна как алгебра Ли. Группы Ли играют огромную роль в современной геометрии на различных уровнях. Феликс Клейн в своей эрлангенской программе утверждал, что можно рассматривать различные «геометрии», определяя соответствующую группу преобразований, сохраняющую определённые геометрические свойства. Таким образом, евклидова геометрия соответствует выбору группы E(3) преобразований евклидова пространства, сохраняющих расстояние, конформная геометрия — расширению группы до конформной группы, а в проективной геометрии рассматриваются свойства, инвариантные относительно проективной группы. Эта идея позже привела к понятию G-структуры, где G — группа Ли «локальных» симметрий многообразия. Группы Ли (и связанные с ними алгебры Ли) играют важную роль в современной физике, где группа Ли обычно выступает в роли симметрии физической системы. Здесь особенно важны представления группы Ли (или её алгебры Ли). Теория представлений широко используется в физике частиц. К группам, представления которых имеют особое значение, относятся группа вращений SO(3) (или её двойное накрытие SU(2)), специальная унитарная группа SU(3) и группа Пуанкаре. На «глобальном» уровне, когда группа Ли действует на геометрический объект, такой как риманово или симплектическое многообразие, это действие обеспечивает меру жёсткости и порождает богатую алгебраическую структуру. Наличие непрерывных симметрий, выраженных посредством действия группы Ли на многообразии, накладывает сильные ограничения на его геометрию и облегчает анализ на многообразии. Линейные действия групп Ли особенно важны и изучаются в теории представлений. В 1940–1950-х годах Эллис Колчин, Арман Борель и Клод Шевалье осознали, что многие фундаментальные результаты, касающиеся групп Ли, могут быть разработаны полностью алгебраически, что привело к теории алгебраических групп, определённых над произвольным полем. Это открыло новые возможности в чистой алгебре, предоставив единую конструкцию для большинства конечных простых групп, а также в алгебраической геометрии. Теория автоморфных форм, важная ветвь современной теории чисел, широко рассматривает аналоги групп Ли над аделевыми кольцами; p-адические группы Ли играют важную роль благодаря их связи с представлениями Галуа в теории чисел.

Определения и примеры

Реальная группа Ли — это группа, которая также является гладким вещественным многообразием конечной размерности, в котором групповые операции умножения и инверсии являются гладкими отображениями. Гладкость группового умножения означает, что μ является гладким отображением произведения многообразий G × G в G. Два требования можно объединить в одно: отображение должно быть гладким отображением произведения многообразий в G.

Непример

Теперь мы приведем пример группы с несчетным числом элементов, которая не является группой Ли при определенной топологии. Группа, заданная выражением

с фиксированным иррациональным числом, является подгруппой тора, которая не является группой Ли, если ей задать топологию подпространства. Если взять любую малую окрестность точки в , например, часть в этой окрестности оказывается несвязной. Группа многократно обматывается вокруг тора, не достигая ни одной предыдущей точки спирали, и таким образом образует плотную подгруппу . Однако группе можно задать другую топологию, в которой расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшего пути в группе, соединяющего с . В этой топологии гомеоморфно отождествляется с действительной прямой, отождествляя каждый элемент с числом в определении . В этой топологии является просто группой действительных чисел относительно сложения и, следовательно, является группой Ли. Группа является примером "подгруппы Ли" группы Ли, которая не является замкнутой. См. обсуждение подгрупп Ли в разделе, посвященном основным понятиям.

Связанные понятия

Сложная группа Ли определяется тем же способом, используя комплексные многообразия вместо вещественных (например, ), и голоморфные отображения. Аналогично, используя альтернативное метрическое завершение , можно определить p-адическую группу Ли над p-адическими числами, являющуюся топологической группой и одновременно аналитическим p-адическим многообразием, таким образом, что групповые операции аналитичны. В частности, каждая точка имеет p-адическую окрестность. Пятая проблема Гильберта спрашивала, может ли замена дифференцируемых многообразий топологическими или аналитическими привести к новым примерам. Ответ на этот вопрос оказался отрицательным: в 1952 году Глисон, Монтгомери и Зиппин показали, что если G — топологическое многообразие с непрерывными групповыми операциями, то существует ровно одна аналитическая структура на G, превращающая его в группу Ли (см. также гипотезу Гильберта — Смита). Если допускается, чтобы базовое многообразие было бесконечномерным (например, многообразие Гильберта), то можно прийти к понятию бесконечномерной группы Ли. Возможно определить аналоги многих групп Ли над конечными полями, и они дают большинство примеров конечных простых групп. Язык теории категорий предоставляет лаконичное определение групп Ли: группа Ли — это групповой объект в категории гладких многообразий. Это важно, поскольку позволяет обобщить понятие группы Ли до супергрупп Ли. Эта категориальная точка зрения также приводит к другому обобщению групп Ли, а именно к группоидам Ли, которые являются группоидными объектами в категории гладких многообразий с дополнительным требованием.

Топологическое определение

Группа Ли может быть определена как (хаусдорфова) топологическая группа, которая в окрестности единичного элемента выглядит как группа преобразований, без обращения к дифференцируемым многообразиям. Сначала определим погруженно-линейную группу Ли как подгруппу G общей линейной группы, такую что для некоторой окрестности V единичного элемента e в G, топология на V является индуцированной топологией из и V замкнута в G. Группа G имеет не более счетное число связных компонент. (Например, замкнутая подгруппа ; то есть матричная группа Ли удовлетворяет вышеуказанным условиям.) Затем группа Ли определяется как топологическая группа, которая (1) локально изоморфна в окрестности единичных элементов с погруженно-линейной группой Ли и (2) имеет не более счетное число связных компонент. Доказательство эквивалентности топологического определения обычному является технически сложным (и начинающим читателям следует пропустить следующее), но в общих чертах выглядит следующим образом: Для заданной группы Ли G в обычном смысле многообразия, соответствие между группой Ли и ее алгеброй Ли (или обобщение третьей теоремы Ли) строит погруженную подгруппу Ли, которая имеет общую алгебру Ли с G; таким образом, они локально изоморфны. Следовательно, G удовлетворяет вышеуказанному топологическому определению. И наоборот, пусть G – топологическая группа, являющаяся группой Ли в вышеуказанном топологическом смысле, и выберем погруженно-линейную группу Ли, локально изоморфную G. Тогда, согласно обобщению теоремы о замкнутых подгруппах, является вещественным аналитическим многообразием, и через локальный изоморфизм G приобретает структуру многообразия в окрестности единичного элемента. Затем показывается, что групповой закон на G может быть задан формальными степенными рядами; следовательно, групповые операции вещественно аналитичны, а сама G – вещественным аналитическим многообразием. Топологическое определение подразумевает, что если две группы Ли изоморфны как топологические группы, то они изоморфны и как группы Ли. Фактически, оно выражает общий принцип, согласно которому, в значительной степени, топология группы Ли вместе с групповым законом определяет ее геометрию.

Еще примеры групп Ли

Лжегруппы широко распространены в математике и физике. Матричные группы или алгебраические группы — это (грубо говоря) группы матриц (например, ортогональные и симплектические группы), и они предоставляют большинство наиболее часто встречающихся примеров групп Ли.

Размеры один и два

Единственными связными группами Ли размерности один являются вещественная прямая (с групповой операцией сложения) и круговая группа комплексных чисел с абсолютной величиной один (с групповой операцией умножения). Эта группа часто обозначается как , группа унитарных матриц. В двух измерениях, если мы рассматриваем только просто связные группы, то они классифицируются по своим алгебрам Ли. Существует (с точностью до изоморфизма) только две алгебры Ли размерности два. Соответствующие просто связные группы Ли — это (с групповой операцией векторного сложения) и аффинная группа размерности один, описанная в предыдущем подразделе в разделе "первые примеры".

Дополнительные примеры

Группа SU(2) — это группа унитарных матриц с детерминантом 1. Топологически, она является сферой; как группа, она может быть отождествлена с группой единичных кватернионов. Группа Гейзенберга — это связная нильпотентная группа Ли размерности 3, играющая ключевую роль в квантовой механике. Группа Лоренца — это 6-мерная группа Ли линейных изометрий пространства Минковского. Группа Пуанкаре — это 10-мерная группа Ли аффинных изометрий пространства Минковского. Исключительные группы Ли типов G2, F4, E6, E7, E8 имеют размерности 14, 52, 78, 133 и 248 соответственно. Наряду с сериями простых групп Ли A, B, C, D, исключительные группы завершают список простых групп Ли. Симплектическая группа состоит из всех матриц, сохраняющих симплектическую форму на некотором пространстве. Это связная группа Ли размерности 2n.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Если G и H – группы Ли, то гомоморфизм группы Ли f: G → H – гладкий гомоморфизм группы. В случае комплексных групп Ли, такой гомоморфизм должен быть голоморфным отображением. Однако эти требования несколько избыточны; любой непрерывный гомоморфизм между вещественными группами Ли оказывается (вещественно) аналитическим. Композиция двух гомоморфизмов Ли снова является гомоморфизмом, и класс всех групп Ли вместе с этими морфизмами образует категорию. Более того, каждый гомоморфизм группы Ли индуцирует гомоморфизм между соответствующими алгебрами Ли. Пусть f – гомоморфизм группы Ли, а df – его производная в единице. Если мы отождествим алгебры Ли G и H со своими касательными пространствами в единичных элементах, то df является отображением между соответствующими алгебрами Ли:

которое оказывается гомоморфизмом алгебры Ли (то есть линейным отображением, сохраняющим скобку Ли). На языке теории категорий, мы имеем ковариантный функтор из категории групп Ли в категорию алгебр Ли, который сопоставляет группе Ли её алгебру Ли, а гомоморфизму группы Ли – его производную в единице. Две группы Ли называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм между ними, обратный которому также является гомоморфизмом группы Ли. Эквивалентно, это диффеоморфизм, являющийся также гомоморфизмом группы. Заметим, что, как следует из вышесказанного, непрерывный гомоморфизм из группы Ли G в группу Ли H является изоморфизмом групп Ли тогда и только тогда, когда он биективен.

Изоморфизмы группы Лей против алгебры Лей

Изоморфные группы Ли обязательно имеют изоморфные алгебры Ли; тогда естественно задаться вопросом, как классы изоморфизма групп Ли соотносятся с классами изоморфизма алгебр Ли. Первым результатом в этом направлении является третья теорема Ли, которая утверждает, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой (линейной) группы Ли. Один из способов доказать третью теорему Ли — использовать теорему Адо, которая гласит, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли изоморфна матричной алгебре Ли. При этом для каждой конечномерной матричной алгебры Ли существует линейная группа (матричная группа Ли), имеющая эту алгебру в качестве своей алгебры Ли. С другой стороны, группы Ли с изоморфными алгебрами Ли не обязаны быть изоморфными. Более того, этот результат остаётся верным, даже если предположить, что группы связаны. Иными словами, глобальная структура группы Ли не определяется её алгеброй Ли; например, если Z — любая дискретная подгруппа центра G, то G и G/Z имеют одну и ту же алгебру Ли (см. таблицу групп Ли для примеров). Важным примером в физике являются группы SU(2) и SO(3). Эти две группы имеют изоморфные алгебры Ли, но сами группы не изоморфны, поскольку SU(2) простосвязна, а SO(3) — нет. С другой стороны, если потребовать, чтобы группа Ли была простосвязной, то глобальная структура определяется её алгеброй Ли: две простосвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. (См. следующий подраздел для получения дополнительной информации о простосвязных группах Ли.) В свете третьей теоремы Ли мы можем, следовательно, сказать, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма конечномерных вещественных алгебр Ли и классами изоморфизма простосвязных групп Ли.

Просто связанные группы Ли

Группа Ли называется просто связной, если любую петлю в ней можно непрерывно стянуть в точку. Это понятие важно в связи со следующим результатом, в котором простая связность является предпосылкой: Теорема: Пусть G и H – группы Ли с алгебрами Ли g и h соответственно, и пусть φ: g → h – гомоморфизм алгебр Ли. Если G просто связна, то существует единственный гомоморфизм группы Ли Φ: G → H такой, что dΦe = φ, где dΦe – дифференциал Φ в единице. Третья теорема Ли утверждает, что любая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли. Из третьей теоремы Ли и предыдущего результата следует, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли единственной просто связной группы Ли. Примером просто связной группы является специальная унитарная группа SU(2), которая как многообразие является 3-сферой. Группа вращений SO(3), с другой стороны, не является просто связной. (См. Топологию SO(3).) Невозможность SO(3) быть просто связной тесно связана с различием между целым и полуцелым спином в квантовой механике. Другие примеры просто связных групп Ли включают специальную унитарную группу SU(n), группу спина (двойное накрытие группы вращений) Spin(n) для n ≥ 3, и компактную симплектическую группу Sp(n). Методы определения того, является ли группа Ли просто связной или нет, обсуждаются в статье о фундаментальных группах групп Ли.

Подгруппа Лей

Подгруппа группы Ли является группой Ли, которая является подмножеством и такой, что отображение включения из в является инъективным погружением и гомоморфизмом группы. Согласно теореме Картана, замкнутая подгруппа допускает единственную гладкую структуру, которая делает её вложенной подгруппой Ли, то есть подгруппой Ли, для которой отображение включения является гладким вложением. Примеров незамкнутых подгрупп множество; например, пусть будет тором размерности 2 или больше, и пусть будет однопараметрической подгруппой с иррациональным наклоном, то есть такой, которая "наматывается" в G. Тогда существует гомоморфизм группы Ли с Замыкание будет субтором в Экспоненциальное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между связными подгруппами Ли связной группы Ли и подалгебрами алгебры Ли . Обычно подгруппа, соответствующая подалгебре, не является замкнутой подгруппой. Не существует критерия, основанного исключительно на структуре , который определял бы, какие подалгебры соответствуют замкнутым подгруппам.

Представительства

Одним из важных аспектов изучения групп Ли является их представление, то есть способ, которым они могут действовать (линейно) на векторных пространствах. В физике группы Ли часто кодируют симметрии физической системы. Способ использования этой симметрии для анализа системы часто реализуется с помощью теории представлений. Рассмотрим, например, стационарное уравнение Шрёдингера в квантовой механике. Предположим, что рассматриваемая система обладает группой вращений SO(3) в качестве симметрии, что означает, что гамильтониан коммутирует с действием SO(3) на волновую функцию (один важный пример такой системы – атом водорода, имеющий одну сферическую орбиталь). Это предположение не обязательно означает, что решения являются ротационно инвариантными функциями. Скорее, это означает, что пространство решений инвариантно относительно вращений (при каждом фиксированном значении энергии). Таким образом, это пространство образует представление SO(3). Эти представления были классифицированы, и эта классификация приводит к существенному упрощению задачи, по сути преобразуя трёхмерное уравнение в частных производных в одномерное уравнение в обыкновенных производных. Особо поддаётся рассмотрению случай связной компактной группы Ли K (включая упомянутый случай SO(3)). В этом случае каждое конечномерное представление K раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений. Неприводимые представления, в свою очередь, были классифицированы Германом Вейлем. Классификация осуществляется в терминах "наивысшего веса" представления. Эта классификация тесно связана с классификацией представлений полупростой алгебры Ли. Можно также изучать (в общем случае бесконечномерные) унитарные представления произвольной группы Ли (не обязательно компактной). Например, возможно дать относительно простое явное описание представлений группы SL(2,R) и представлений группы Пуанкаре.