Введение

Функция, обратное изображение измеримого множества которой измеримо.

В математике, и в частности в теории меры, измеримая функция — это функция между базовыми множествами двух измеримых пространств, сохраняющая структуру этих пространств: обратное изображение любого измеримого множества является измеримым. Это прямо аналогично определению непрерывной функции между топологическими пространствами, сохраняющей топологическую структуру: обратное изображение любого открытого множества является открытым. В математическом анализе измеримые функции используются в определении интеграла Лебега. В теории вероятностей измеримая функция на вероятностном пространстве называется случайной величиной.

Вариации в использовании терминов

Выбор алгебры в определении выше иногда подразумевается и определяется контекстом. Например, для ℝ или других топологических пространств, алгебра Бореля (порожденная всеми открытыми множествами) является распространенным выбором. Некоторые авторы определяют измеримые функции как функции, принимающие только вещественные значения, относительно алгебры Бореля. Если значения функции лежат в бесконечномерном векторном пространстве, существуют другие, неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и измеримость Бохнера.

Примечательные классы измеримых функций

Случайные величины по определению являются измеримыми функциями, определенными на пространствах вероятностей. Если и являются пространствами Бореля, то измеримая функция также называется функцией Бореля. Непрерывные функции являются функциями Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция почти непрерывна; см. теорему Лузина. Если функция Бореля является сечением отображения , то она называется сечением Бореля. Функция, измеримая по Лебегу, – это измеримая функция , где – сигма-алгебра измеримых по Лебегу множеств, а – сигма-алгебра Бореля на комплексных числах. Функции, измеримые по Лебегу, представляют интерес в математическом анализе, поскольку они интегрируемы. В случае , измерима по Лебегу тогда и только тогда, когда измерима для всех . Это также эквивалентно тому, что любое из измеримо для всех , или прообраз любого открытого множества измерим. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, функции, интегрируемые по Риману, и функции ограниченной вариации – все измеримы по Лебегу. Функция измерима тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части измеримы.

Свойства измеримых функций

Сумма и произведение двух измеримых функций комплексного значения являются измеримыми. То же справедливо и для частного, при условии отсутствия деления на ноль. Точечный предел последовательности измеримых функций является измеримым, где X – метрическое пространство (оснащенное сигма-алгеброй Бореля). Это не всегда верно, если X не метризуемо. Соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более сильных условий, чем точечная сходимость, например, равномерная сходимость.