Введение
Подмножество пространства, содержащее ровно одну точку из каждой орбиты действия группы.
Для заданного топологического пространства и группы, действующей на него, образы одной точки при действии группы образуют орбиту. Фундаментальная область или фундаментальный домен — это подмножество пространства, которое содержит ровно одну точку из каждой из этих орбит. Он служит геометрической реализацией абстрактного множества представителей орбит. Существует множество способов выбора фундаментальной области. Обычно требуется, чтобы фундаментальная область была связным подмножеством с некоторыми ограничениями на границе, например, гладкой или многогранной. Образы выбранной фундаментальной области при действии группы затем покрывают пространство. Одним из общих способов построения фундаментальных областей является использование ячеек Вороного.
Подсказки к общему определению
При заданном действии группы G на топологическом пространстве X посредством гомеоморфизмов, фундаментальной областью для этого действия является множество D, состоящее из представителей орбит. Обычно требуется, чтобы это множество обладало достаточно хорошими топологическими свойствами, одним из нескольких точно определенных способов. Типичное условие заключается в том, что D является почти открытым множеством, в том смысле, что D является симметричной разностью открытого множества в X и множества меры ноль, относительно некоторой (квази)инвариантной меры на X. Фундаментальная область всегда содержит свободное регулярное множество U – открытое множество, которое группа G переносит в непересекающиеся копии, и которое почти так же хорошо, как D, представляет орбиты. Часто требуется, чтобы D было полным набором представителей классов вычетов с некоторыми повторениями, при этом повторяющаяся часть имеет меру ноль. Это типичная ситуация в эргодической теории. Если фундаментальная область используется для вычисления интеграла на X/G, множества меры ноль не имеют значения. Например, если X – это евклидово пространство Rn размерности n, а G – решетка Zn, действующая на него с помощью сдвигов, то факторпространство X/G является n-мерным тором. В этом случае фундаментальной областью D можно взять [0,1)n, которое отличается от открытого множества (0,1)n множеством меры ноль, или замкнутый единичный куб [0,1]n, граница которого состоит из точек, орбиты которых имеют более одного представителя в D.