Введение
В математической теории метрических пространств, метрическое отображение — это функция между метрическими пространствами, которая не увеличивает никакое расстояние. Эти отображения являются морфизмами в категории метрических пространств, Met. Такие функции всегда непрерывны. Их также называют функциями Липшица с константой Липшица 1, нерасширяющими отображениями, нерасширяющимися отображениями, слабыми сжатиями или короткими отображениями. В частности, пусть и — метрические пространства, а — функция из в . Тогда является метрическим отображением, если для любых точек и из ,
где и обозначают метрики на и соответственно.
Примеры
Рассмотрим метрическое пространство с евклидовой метрикой. Тогда функция является метрическим отображением, поскольку для любых , выполняется .
Категория метрических карт
Функциональная композиция двух метрических отображений является метрическим отображением, а тождественное отображение на метрическом пространстве — это метрическое отображение, которое также является нейтральным элементом для композиции отображений. Таким образом, метрические пространства вместе с метрическими отображениями образуют категорию Met. Met является подкатегорией категории метрических пространств и липшицевых функций. Отображение между метрическими пространствами является изометрией тогда и только тогда, когда оно является биективным метрическим отображением, обратное к которому также является метрическим отображением. Следовательно, изоморфизмы в Met — это точно изометрии.
Строго метрические карты
Можно сказать, что пространство является строго метрическим, если неравенство строго для любых двух различных точек. Таким образом, сжимающее отображение является строго метрическим, но не обязательно верно обратное. Следует отметить, что изометрия никогда не является строго метрической, за исключением вырожденных случаев пустого пространства или пространства, состоящего из одной точки.