Введение

Математический объект в теории категорий

В математике, особенно в области теории категорий, понятие инъективного объекта является обобщением понятия инъективного модуля. Это понятие важно в когомологии, в теории гомотопий и в теории модельных категорий. Двойным понятием является понятие проективного объекта.

Определение

Объект в категории называется инъективным, если для каждого мономорфизма и каждого морфизма существует морфизм, расширяющий до , то есть такой, что . Иными словами, каждый морфизм факторизуется через каждый мономорфизм. Морфизм в вышеуказанном определении не обязан быть однозначно определен и . В локально малой категории это эквивалентно требованию, чтобы функтор Hom отображал мономорфизмы в сюръективные отображения множеств.

В абелевых категориях

Понятие инъективности было впервые сформулировано для абелевых категорий, и это по-прежнему одна из основных областей её применения. Если **C** – абелева категория, то объект Q из **C** является инъективным тогда и только тогда, когда функтор HomC(–, Q) точен. Если 0 → A → B → C → 0 – точная последовательность в **C**, и Q инъективен, то эта последовательность расщепляется.

Достаточно инъективов и инъекционных корпусов

Категория считается обладающей достаточным количеством инъективных объектов, если для каждого объекта X в этой категории существует мономорфизм из X в инъективный объект. Мономорфизм g в этой категории называется существенным мономорфизмом, если для любого морфизма f композиция fg является мономорфизмом только в том случае, если f сам является мономорфизмом. Если g — существенный мономорфизм с областью определения X и инъективной областью значений G, то G называется инъективной оболочкой X. Инъективная оболочка затем однозначно определяется объектом X с точностью до некононического изоморфизма.

Примеры

В категории абелевых групп и групповых гомоморфизмов Ab инъективный объект обязательно является делимой группой. При условии аксиомы выбора эти понятия эквивалентны. В категории (левых) модулей и гомоморфизмов модулей, R Mod, инъективный объект является инъективным модулем. R Mod имеет инъективные оболочки (следовательно, R Mod имеет достаточно инъективных объектов). В категории метрических пространств, Met, инъективный объект является инъективным метрическим пространством, а инъективная оболочка метрического пространства – его плотное замыкание. В категории пространств T0 и непрерывных отображений инъективный объект всегда является топологией Скотта на непрерывной решетке и, следовательно, всегда трезв и локально компактен.

Применение

Если абелева категория имеет достаточно инъективных объектов, то можно строить инъективные разрешения, то есть для заданного объекта X можно построить длинную точную последовательность, а затем определить производные функторы заданного функтора F, применяя F к этой последовательности и вычисляя гомологию полученной (не обязательно точной) последовательности. Этот подход используется для определения функторов Ext и Tor, а также различных теорий когомологий в теории групп, алгебраической топологии и алгебраической геометрии. Обычно используются категории функторов или категории пучков модулей над OX на некотором кольцевом пространстве (X, OX), или, в более общем случае, любая категория Гротендика.

Обобщение

Пусть – категория и – класс морфизмов в . Объект из называется инъективным, если для каждого морфизма и каждого морфизма в существует морфизм с . Если – класс мономорфизмов, мы возвращаемся к инъективным объектам, рассмотренным выше. Категория называется обладающей достаточным количеством инъективных объектов, если для каждого объекта X из существует морфизм из X в инъективный объект. Морфизм g в называется существенным, если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит только в том случае, если f принадлежит . Если g – существенный морфизм с доменом X и инъективным кодоменом G, то G называется инъективной оболочкой X.

Примеры инъекционных объектов

В категории упрощенных множеств инъективные объекты относительно класса анодиновых расширений являются комплексами Кана. В категории частично упорядоченных множеств и монотонных отображений полные решетки образуют инъективные объекты для класса вложений порядка, а дедекиндово-макнейлевское завершение частично упорядоченного множества является его инъективной оболочкой.