Введение
Скалярная величина, меняющая знак в зеркальных координатах.
В линейной алгебре псевдоскаляр — это величина, которая ведет себя как скаляр, за исключением того, что она меняет знак при инверсии четности, в то время как истинный скаляр этого не делает. При умножении псевдоскаляра на обычный вектор получается псевдовектор (или аксиальный вектор); аналогичным образом создается псевдотензор. Псевдоскаляр также является результатом любого скалярного произведения псевдовектора и обычного вектора. Типичным примером псевдоскаляра является скалярное тройное произведение, которое можно представить как скалярное произведение одного из векторов в тройном произведении на векторное произведение двух других векторов, причем последнее является псевдовектором.
В физике
В физике псевдоскаляр обозначает физическую величину, аналогичную скаляру. Обе являются физическими величинами, принимающими единственное значение, инвариантное относительно собственных вращений. Однако при преобразовании чётности псевдоскаляры меняют знак, а скаляры – нет. Поскольку отражение относительно плоскости представляет собой комбинацию вращения и преобразования чётности, псевдоскаляры также меняют знак при отражении.
Мотивация
Одна из самых мощных идей в физике заключается в том, что физические законы не изменяются при изменении системы координат, используемой для их описания. Тот факт, что псевдоскаляр меняет знак при инверсии координатных осей, указывает на то, что это не самый подходящий объект для описания физической величины. В 3D пространстве величины, описываемые псевдовектором, являются антисимметричными тензорами второго ранга, которые инвариантны относительно инверсии. Псевдовектор может быть более простым представлением этой величины, но страдает от изменения знака при инверсии. Аналогично, в 3D пространстве двойственное преобразование Ходжа скаляра равно постоянной, умноженной на трехмерный псевдотензор Леви-Чивиты (или "перестановочный" псевдотензор), в то время как двойственное преобразование Ходжа псевдоскаляра является антисимметричным (чистым) тензором третьего ранга. Псевдотензор Леви-Чивиты является полностью антисимметричным псевдотензором третьего ранга. Поскольку двойственное преобразование псевдоскаляра является произведением двух "псевдоколичеств", результирующий тензор является истинным тензором и не меняет знак при инверсии осей. Ситуация аналогична ситуации с псевдовекторами и антисимметричными тензорами второго ранга. Двойственное преобразование псевдовектора является антисимметричным тензором второго ранга (и наоборот). Тензор является инвариантной физической величиной при инверсии координат, в то время как псевдовектор не является инвариантным. Эту ситуацию можно обобщить на любое число измерений. В общем случае, в n-мерном пространстве двойственное преобразование Ходжа тензора ранга r будет антисимметричным псевдотензором ранга (n − r) и наоборот. В частности, в четырехмерном пространстве-времени специальной теории относительности псевдоскаляр является двойственным к тензору четвертого ранга и пропорционален четырехмерному псевдотензору Леви-Чивиты.
Примеры
Функция потока для двухмерного, несжимаемого течения жидкости. Магнитный заряд является псевдоскаляром, поскольку он определяется математически, независимо от его физического существования. Магнитный поток является результатом скалярного произведения между вектором (нормалью к поверхности) и псевдовектором (магнитным полем). Геличность – это проекция (скалярное произведение) спинового псевдовектора на направление импульса (истинного вектора). Псевдоскалярные частицы, то есть частицы со спином 0 и нечетной четностью, то есть частицы, не имеющие собственного спина, с волновой функцией, меняющей знак при инверсии четности. Примерами служат псевдоскалярные мезоны.