Введение

Образец колебательного движения в системе

Нормальный режим динамической системы – это картина движения, в которой все части системы движутся синусоидально с одной и той же частотой и с фиксированным соотношением фаз. Свободное движение, описываемое нормальными модами, происходит на заданных частотах. Эти заданные частоты нормальных мод системы известны как собственные частоты или резонансные частоты. Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных мод и их собственных частот, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий. Наиболее общее движение линейной системы является суперпозицией ее нормальных мод. Моды являются нормальными в том смысле, что они могут двигаться независимо, то есть возбуждение одной моды никогда не вызовет движение другой моды. В математическом плане нормальные моды ортогональны друг другу.

Номера режимов

Для режима вибрации характерны модальная частота и форма моды. Моды нумеруются в соответствии с количеством полуволн в вибрации. Например, если вибрирующий луч с закрепленными обоими концами демонстрирует форму моды, равную половине синусоиды (один пик на вибрирующем луче), он будет вибрировать в первой моде. Если бы у него была полная синусоида (один пик и один провал), он вибрировал бы во второй моде. В системе с двумя или более измерениями, такой как показанный диск, каждому измерению присваивается номер моды. Используя полярные координаты, мы имеем радиальную и угловую координаты. Если измерять от центра наружу вдоль радиальной координаты, то можно обнаружить полную волну, следовательно, номер моды в радиальном направлении равен 2. Другое направление сложнее, поскольку из-за антисимметричного (также называемого кососимметричным) характера вибрации диска в угловом направлении рассматривается только половина диска. Таким образом, измеряя 180° вдоль углового направления, можно обнаружить полуволну, следовательно, номер моды в угловом направлении равен 1. Таким образом, номер моды системы – 2–1 или 1–2, в зависимости от того, какая координата считается "первой", а какая – "второй" (поэтому важно всегда указывать, какой номер моды соответствует каждому направлению координат). В линейных системах каждая мода полностью независима от всех остальных мод. В общем случае все моды имеют разные частоты (при этом более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы мод.

Узлы

В одномерной системе при заданном виде колебаний будут узлы, то есть места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам на форме собственных колебаний, где значение формы собственных колебаний равно нулю. Поскольку колебание системы определяется формой собственных колебаний, умноженной на функцию времени, смещение в узловых точках остается нулевым в любой момент времени. При переходе к двумерной системе эти узлы превращаются в линии, где смещение всегда равно нулю. Если вы посмотрите на анимацию выше, вы увидите два круга (один примерно посередине между краем и центром, а другой – на самом краю) и прямую линию, делящую диск пополам, где смещение близко к нулю. В идеальной системе эти линии равны нулю точно, как показано справа.

В квантовой механике

В квантовой механике состояние системы описывается волновой функцией, которая является решением уравнения Шрёдингера. Квадрат модуля волновой функции, то есть |Ψ(x,t)|², является плотностью вероятности обнаружить частицу в точке x в момент времени t. Обычно, при наличии потенциала, волновая функция раскладывается в суперпозицию собственных состояний по энергии, каждое из которых колеблется с частотой ω. Таким образом, можно записать:

Собственные состояния имеют физический смысл, выходящий за рамки просто ортонормального базиса. Когда энергия системы измеряется, волновая функция коллапсирует в одно из её собственных состояний, и, следовательно, волновая функция частицы описывается чистым собственным состоянием, соответствующим измеренной энергии.

В сейсмологии

Нормальные моды в Земле генерируются в результате интерференции длинноволновых сейсмических волн от крупных землетрясений, формирующих стоячие волны. Для упругой, изотропной и однородной сферы возникают сфероидальные, тороидальные и радиальные (или дыхательные) моды. Сфероидальные моды включают только P- и SV-волны (как волны Рэлея) и зависят от номера гармоники n и углового порядка l, но обладают вырожденностью по азимутальному порядку m. Увеличение l концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности, а при больших значениях l она приближается к волнам Рэлея. Тороидальные моды включают только SH-волны (как волны Люба) и отсутствуют во флюидном внешнем ядре. Радиальные моды являются лишь подмножеством сфероидальных мод при l=0. Вырожденность на Земле не существует, поскольку она снимается вращением, эллиптичностью и трехмерной неоднородной структурой скорости и плотности. Можно предположить, что каждый мод может быть выделен независимо (приближение самосогласования), или что множество мод, близких по частоте, резонируют (приближение перекрестного согласования). Самосогласование изменяет только фазовую скорость, но не число волн вокруг большого круга, что приводит к растяжению или сжатию картины стоячей волны. Модальное перекрестное согласование возникает из-за вращения Земли, асферической упругой структуры или эллиптичности Земли и приводит к смешению фундаментальных сфероидальных и тороидальных мод.