Принцип исключения Паули: запрет на одновременное занятие одинаковых состояний фермионами.

Введение

Правило квантовой механики: идентичные фермионы не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние.

В квантовой механике принцип исключения Паули гласит, что две или более идентичных частиц с полуцелым спином (то есть фермионы) не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии в системе, подчиняющейся законам квантовой механики. Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов, а позднее расширен на все фермионы его теоремой спин-статистики 1940 года. В случае электронов в атомах принцип исключения можно сформулировать следующим образом: в полиэлектронном атоме невозможно, чтобы у любых двух электронов были одинаковы все четыре квантовых числа: n – главное квантовое число; l – орбитальное (азимутальное) квантовое число; m – магнитное квантовое число; и ms – спиновое квантовое число. Например, если два электрона находятся в одной орбитали, то их значения n, l и m равны. В этом случае два значения ms (спина) должны быть различными. Поскольку единственными возможными значениями спиновой проекции ms являются +1/2 и −1/2, следует, что у одного электрона должно быть ms = +1/2, а у другого ms = −1/2. Частицы с целым спином (бозоны) не подчиняются принципу исключения Паули. Любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, например, фотоны, испускаемые лазером, или атомы, находящиеся в конденсате Бозе-Эйнштейна. Более строгая формулировка: при перестановке двух идентичных частиц полная (многочастичная) волновая функция антисимметрична для фермионов и симметрична для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственные и спиновые координаты двух одинаковых частиц, то полная волновая функция изменит знак для фермионов, но не изменит знак для бозонов. Таким образом, если гипотетически два фермиона находились бы в одном и том же состоянии – например, в одном атоме, в одной орбитали с одинаковым спином – то их перестановка ничего бы не изменила, и полная волновая функция осталась бы неизменной. Однако, единственный способ, которым полная волновая функция может одновременно изменить знак (что необходимо для фермионов) и остаться неизменной, заключается в том, что такая функция должна быть равна нулю во всех точках пространства, что означает, что такое состояние не может существовать. Это рассуждение не применимо к бозонам, поскольку знак не меняется.

In quantum mechanics, the Pauli exclusion principle states that two or more identical particles with half integer spins (i. e. fermions) cannot simultaneously occupy the same quantum state within a system that obeys the laws of quantum mechanics. This principle was formulated by Austrian physicist Wolfgang Pauli in 1925 for electrons, and later extended to all fermions with his spin–statistics theorem of 1940. In the case of electrons in atoms, the exclusion principle can be stated as follows: in a poly electron atom it is impossible for any two electrons to have the same two values of all four of their quantum numbers, which are: n, the principal quantum number; , the azimuthal quantum number; m, the magnetic quantum number; and ms, the spin quantum number. For example, if two electrons reside in the same orbital, then their values of n, , and m are equal. In that case, the two values of ms (spin) pair must be different. Since the only two possible values for the spin projection ms are +1/2 and −1/2, it follows that one electron must have ms = +1/2 and one ms = 1/2. Particles with an integer spin (bosons) are not subject to the Pauli exclusion principle. Any number of identical bosons can occupy the same quantum state, such as photons produced by a laser, or atoms found in a Bose–Einstein condensate. A more rigorous statement is: under the exchange of two identical particles, the total (many particle) wave function is antisymmetric for fermions and symmetric for bosons. This means that if the space and spin coordinates of two identical particles are interchanged, then the total wave function changes sign for fermions, but does not change sign for bosons. So, if hypothetically two fermions were in the same statefor example, in the same atom in the same orbital with the same spinthen interchanging them would change nothing and the total wave function would be unchanged. However, the only way a total wave function can both change sign (required for fermions), and also remain unchanged is that such a function must be zero everywhere, which means such a state cannot exist. This reasoning does not apply to bosons because the sign does not change.

Обзор

Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частиц с полуцелым спином), в то время как бозоны (частицы с целым спином) подчиняются другим принципам. Фермионы включают элементарные частицы, такие как кварки, электроны и нейтрино. Кроме того, барионы, такие как протоны и нейтроны (субатомные частицы, состоящие из трех кварков), и некоторые атомы (такие как гелий-3) являются фермионами и, следовательно, также описываются принципом исключения Паули. Атомы могут иметь разный общий спин, который определяет, являются ли они фермионами или бозонами: например, гелий-3 имеет спин 1/2 и поэтому является фермионом, а гелий-4 имеет спин 0 и является бозоном. Принцип исключения Паули лежит в основе многих свойств обычной материи, от её масштабной стабильности до химического поведения атомов. Полуцелый спин означает, что значение собственного углового момента фермионов равно (постоянной Планка, делённой на 2π) умноженному на полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными волновыми функциями. В отличие от них, частицы с целым спином (бозоны) имеют симметричные волновые функции и могут находиться в одних и тех же квантовых состояниях. Бозоны включают фотон, куперовские пары, ответственные за сверхпроводимость, и W- и Z-бозоны. Фермионы получили своё название от статистического распределения Ферми — Дирака, которому они подчиняются, а бозоны — от распределения Бозе — Эйнштейна.

История

В начале XX века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов химически более стабильны, чем атомы с нечетным числом электронов. В статье 1916 года "Атом и молекула" Гилберта Н. Льюиса, например, третий из шести постулатов химического поведения утверждает, что атом стремится удерживать четное число электронов в любой данной оболочке, и особенно – восемь электронов, которые, по его предположению, обычно располагаются симметрично в восьми углах куба. В 1919 году химик Ирвинг Лангмуир предположил, что периодическую таблицу можно объяснить, если электроны в атоме каким-то образом связаны или сгруппированы. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома, предположив, что определенные числа электронов (например, 2, 8 и 18) соответствуют стабильным "закрытым оболочкам". Паули искал объяснение для этих чисел, которые поначалу были лишь эмпирическими. Одновременно он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и в ферромагнетизме. Он нашел важную подсказку в статье Эдмунда С. Стоунера 1924 года, в которой отмечалось, что для заданного значения главного квантового числа (n) число энергетических уровней одного электрона в спектрах щелочных металлов во внешнем магнитном поле, где все вырожденные энергетические уровни разделены, равно числу электронов в закрытой оболочке благородных газов для того же значения n. Это привело Паули к пониманию того, что сложное число электронов в закрытых оболочках можно свести к простому правилу – один электрон на состояние, если состояния электронов определены с использованием четырех квантовых чисел. С этой целью он ввел новое двухзначное квантовое число, которое Сэмюэл Годсмит и Джордж Уленбек идентифицировали как спин электрона.

Высокотехнологичная квантовая теория

Согласно теореме спин-статистики, частицы с целым спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином – антисимметричные состояния; при этом, принципы квантовой механики допускают только целые или полуцелые значения спина. В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули вытекает из применения оператора поворота в мнимом времени к частицам с полуцелым спином. В одном измерении принцип исключения может выполняться как для бозонов, так и для фермионов. Одномерный бозе-газ с отталкивающими взаимодействиями в виде дельта-функции бесконечной силы эквивалентен газу свободных фермионов. Это связано с тем, что в одном измерении обмен частицами требует их прохождения друг сквозь друга; при бесконечно сильном отталкивании это невозможно. Данная модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шрёдингера. В импульсном пространстве принцип исключения справедлив также для конечного отталкивания в бозе-газе с взаимодействиями в виде дельта-функции, а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении, и для других моделей, разрешимых методом Бете. Основное состояние в моделях, разрешимых методом Бете, представляет собой ферми-сферу.

Атомы

Принцип исключения Паули помогает объяснить широкий спектр физических явлений. Одним из особенно важных следствий этого принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и способ, которым атомы делятся электронами, объясняя разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. Электрически нейтральный атом содержит связанные электроны, равные по количеству протонам в ядре. Электроны, будучи фермионами, не могут занимать одно и то же квантовое состояние, поэтому электроны должны "укладываться" внутри атома, то есть иметь разные спины, находясь на одной и той же электронной орбитали, как описано ниже. Примером является нейтральный атом гелия (He), который имеет два связанных электрона, оба из которых могут занимать наименьшие энергетические (1s) состояния, приобретая противоположные спины; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако спин может принимать только два различных значения (собственных значения). В атоме лития (Li), с тремя связанными электронами, третий электрон не может находиться в состоянии 1s и должен занимать состояние с более высокой энергией. Наименьшее доступное состояние – 2s, поэтому основное состояние Li – 1s²2s. Аналогичным образом, последовательно более крупные элементы должны иметь оболочки последовательно более высокой энергии. Химические свойства элемента во многом зависят от количества электронов во внешней оболочке; атомы с разным количеством занятых электронных оболочек, но одинаковым количеством электронов во внешней оболочке, имеют схожие свойства, что приводит к периодической таблице элементов. Чтобы проверить принцип исключения Паули для атома гелия, Гордон Дрейк провел очень точные расчеты для гипотетических состояний атома He, которые его нарушают, называемых пароническими состояниями. Позже К. Деиламиан и др. использовали атомный спектрометр для поиска паронического состояния 1s²s ¹S₀, рассчитанного Дрейком. Поиск не увенчался успехом и показал, что статистический вес этого паронического состояния имеет верхнюю границу 5. (Принцип исключения предполагает вес, равный нулю.)

The Pauli exclusion principle helps explain a wide variety of physical phenomena. One particularly important consequence of the principle is the elaborate electron shell structure of atoms and the way atoms share electrons, explaining the variety of chemical elements and their chemical combinations. An electrically neutral atom contains bound electrons equal in number to the protons in the nucleus. Electrons, being fermions, cannot occupy the same quantum state as other electrons, so electrons have to "stack" within an atom, i. e. have different spins while at the same electron orbital as described below. An example is the neutral helium atom (He), which has two bound electrons, both of which can occupy the lowest energy (1s) states by acquiring opposite spin; as spin is part of the quantum state of the electron, the two electrons are in different quantum states and do not violate the Pauli principle. However, the spin can take only two different values (eigenvalues). In a lithium atom (Li), with three bound electrons, the third electron cannot reside in a 1s state and must occupy a higher energy state instead. The lowest available state is 2s, so that the ground state of Li is 1s22s. Similarly, successively larger elements must have shells of successively higher energy. The chemical properties of an element largely depend on the number of electrons in the outermost shell; atoms with different numbers of occupied electron shells but the same number of electrons in the outermost shell have similar properties, which gives rise to the periodic table of the elements. To test the Pauli exclusion principle for the helium atom, Gordon Drake carried out very precise calculations for hypothetical states of the He atom that violate it, which are called paronic states. Later, K. Deilamian et al. used an atomic beam spectrometer to search for the paronic state 1s2s 1S0 calculated by Drake. The search was unsuccessful and showed that the statistical weight of this paronic state has an upper limit of 5. (The exclusion principle implies a weight of zero.)

Свойства твердого тела

В проводниках и полупроводниках существует огромное количество молекулярных орбиталей, которые эффективно формируют непрерывную зонную структуру энергетических уровней. В хороших проводниках (металлах) электроны настолько вырождены, что практически не вносят вклад в теплоемкость металла. Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием принципа исключения Паули.

Стабильность материи

Стабильность каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что приближение электрона к ядру неизбежно увеличивает его кинетическую энергию, что является следствием принципа неопределенности Гейзенберга. Однако стабильность больших систем, содержащих множество электронов и нуклонов, – это отдельный вопрос, требующий принципа исключения Паули. Было показано, что именно принцип исключения Паули обеспечивает стабильность и занимаемый объем обычной макроскопической материей. Это предположение впервые было высказано Полем Эренфестом в 1931 году, который отметил, что электроны каждого атома не могут все занять орбиталь с самой низкой энергией и должны последовательно заполнять оболочки с более высокой энергией. Следовательно, атомы занимают определенный объем и не могут быть сжаты произвольно сильно. Первое строгое доказательство было представлено Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом в 1967 году, которые рассмотрели баланс между притягательными (электрон-ядерными) и отталкивающими (электрон-электронными и ядро-ядерными) силами и показали, что без принципа Паули обычная материя коллапсировала бы, занимая значительно меньший объем. Более простое доказательство было найдено Эллиотом Х. Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. Они получили нижнюю границу для квантовой энергии в рамках модели Томаса — Ферми, стабильность которой обусловлена теоремой Теллера. В доказательстве использовалась нижняя граница кинетической энергии, ныне известная как неравенство Либа — Тирринга. Следствием принципа Паули в данном случае является то, что электроны с одинаковым спином удерживаются на расстоянии друг от друга отталкивающим обменным взаимодействием, которое является эффектом короткого радиуса действия и действует одновременно с электростатической (кулоновской) силой дальнего радиуса действия. Этот эффект частично объясняет повседневное наблюдение в макромире, что два твердых объекта не могут одновременно находиться в одном и том же месте.

Астрофизика

Дайсон и Ленард не рассматривали экстремальные магнитные или гравитационные силы, возникающие в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиот Либ и его коллеги показали, что принцип Паули все еще обеспечивает стабильность в сильных магнитных полях, таких как в нейтронных звездах, хотя и при гораздо большей плотности, чем в обычной материи. Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно сильных гравитационных полях материя коллапсирует, образуя черную дыру. Астрономия предоставляет впечатляющую демонстрацию эффекта принципа Паули в виде белых карликов и нейтронных звезд. В обоих этих телах атомная структура разрушается из-за экстремального давления, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии давлением вырождения, также известным как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи называется вырожденной материей. Огромная гравитационная сила массы звезды обычно уравновешивается тепловым давлением, создаваемым теплом, выделяющимся в результате термоядерного синтеза в ядре звезды. В белых карликах, где ядерный синтез не происходит, противодействующую гравитации силу обеспечивает давление вырождения электронов. В нейтронных звездах, подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны объединяются с протонами, образуя нейтроны. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения – давление вырождения нейтронов, хотя и на меньшем расстоянии. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньшем размере и большей плотности, чем у белого карлика. Нейтронные звезды – самые "жесткие" известные объекты; их модуль Юнга (или, точнее, модуль сжатия) на 20 порядков больше, чем у алмаза. Однако даже эта огромная жесткость может быть преодолена гравитационным полем массы нейтронной звезды, превышающей предел Толмана — Оппенгеймера — Волкова, что приводит к образованию черной дыры.