Введение

Понятие сходимости метрических пространств
В математике сходимость Громова — Хаусдорфа, названная в честь Михаила Громова и Феликса Хаусдорфа, является понятием сходимости метрических пространств, которое является обобщением сходимости Хаусдорфа.

Расстояние Громова-Хаусдорфа

Расстояние Громова — Хаусдорфа было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 году, а затем повторно открыто и обобщено Михаилом Громовым в 1981 году. Это расстояние измеряет, насколько два компактных метрических пространства отличаются от изометрических. Если X и Y — два компактных метрических пространства, то dGH(X, Y) определяется как инфимум всех чисел dH(f(X), g(Y)) для всех (компактных) метрических пространств M и всех изометрических погружений f: X → M и g: Y → M. Здесь dH обозначает расстояние Хаусдорфа между подмножествами в M, а изометрическое погружение понимается в глобальном смысле, то есть оно должно сохранять все расстояния, а не только бесконечно малые; например, никакое компактное риманово многообразие не допускает такого погружения в евклидово пространство той же размерности. Расстояние Громова — Хаусдорфа превращает множество всех классов изометрии компактных метрических пространств в метрическое пространство, называемое пространством Громова — Хаусдорфа, и, следовательно, определяет понятие сходимости для последовательностей компактных метрических пространств, называемое сходимостью Громова — Хаусдорфа. Метрическое пространство, к которому сходится такая последовательность, называется пределом Громова — Хаусдорфа последовательности.

Некоторые свойства пространства Громова-Хаусдорфа

Пространство Громова — Хаусдорфа связно, полно и сепарабельно. Оно также геодезически полно, то есть для любых двух его точек существует минимизирующая геодезическая, соединяющая их. В глобальном смысле пространство Громова — Хаусдорфа абсолютно гетерогенно, то есть его группа изометрий тривиальна, но локально существует множество нетривиальных изометрий.

Точечная конвергенция Громова-Хаусдорфа

Точечная сходимость Громова — Хаусдорфа является аналогом сходимости Громова — Хаусдорфа, подходящим для некомпактных пространств. Точечное метрическое пространство — это пара (X, p), состоящая из метрического пространства X и точки p в X. Последовательность (Xn, pn) точечных метрических пространств сходится к точечному метрическому пространству (Y, p), если для каждого R > 0 последовательность замкнутых R-шаров вокруг pn в Xn сходится к замкнутому R-шару вокруг p в Y в обычном смысле Громова — Хаусдорфа.