Кольца матриц

Введение

Математическое кольцо, элементами которого являются матрицы.

В абстрактной алгебре матричное кольцо — это множество матриц с элементами из кольца R, образующее кольцо относительно сложения и умножения матриц. Множество всех матриц размера n × n с элементами из R является матричным кольцом, обозначаемым Mn(R) (альтернативные обозначения: Matn(R) и Rn×n). Некоторые множества бесконечных матриц образуют бесконечные матричные кольца. Подкольцо матричного кольца снова является матричным кольцом. Над кольцом с единицей (rng) можно формировать матричные кольца с единицей. Если R — коммутативное кольцо, то матричное кольцо Mn(R) является ассоциативной алгеброй над R и может называться матричной алгеброй. В этом случае, если M — матрица, а r принадлежит R, то матрица rM — это матрица M, каждый элемент которой умножен на r.

Примеры

Множество всех n × n квадратных матриц над R, обозначается Mn(R). Это иногда называют "полным кольцом n × n матриц". Множество всех верхнетреугольных матриц над R. Множество всех нижнетреугольных матриц над R. Множество всех диагональных матриц над R. Эта субалгебра Mn(R) изоморфна прямому произведению n копий R. Для любого индексирующего множества I, кольцо эндоморфизмов правого R-модуля изоморфно кольцу конечно-колонных матриц, чьи элементы индексируются множеством I × I и каждый столбец которых содержит лишь конечное число ненулевых элементов. Кольцо эндоморфизмов M, рассматриваемое как левый R-модуль, изоморфно кольцу конечно-строчных матриц. Если R — банахова алгебра, то условие конечности строк или столбцов в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы, вместо конечных сумм можно использовать абсолютно сходящиеся ряды. Например, матрицы, суммы столбцов которых являются абсолютно сходящимися последовательностями, образуют кольцо. Аналогично, матрицы, суммы строк которых являются абсолютно сходящимися рядами, также образуют кольцо. Эту идею можно использовать для представления операторов на гильбертовых пространствах, например. Пересечение колец конечно-строчных и конечно-колонных матриц образует кольцо. Если R коммутативно, то Mn(R) имеет структуру * -алгебры над R, где инволюция * на Mn(R) — это транспонирование матрицы. Если A — C*-алгебра, то Mn(A) — также C*-алгебра. Если A не унитальна, то Mn(A) также не унитальна. По теореме Гельфанда — Наймарка существует гильбертово пространство H и изометрический * -изоморфизм из A в нормально замкнутую субалгебру алгебры B(H) непрерывных операторов; это отождествляет Mn(A) с субалгеброй B(H ⊕ n). Для упрощения, если мы дополнительно предположим, что H — сепарабельно и A ⊆ B(H) — унитальная C*-алгебра, мы можем разложить A в матричное кольцо над меньшей C*-алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, её ортогональную проекцию 1 − p; можно отождествить A с , где матричное умножение работает должным образом благодаря ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с матричным кольцом над C*-алгеброй, необходимо, чтобы p и 1 − p имели одинаковый "ранг"; точнее, необходимо, чтобы p и 1 − p были эквивалентны по Мюррею — фон Нейману, то есть существовала частичная изометрия u такая, что 1 = p = uu* и 1 = 1 − p = u*u. Это можно легко обобщить на матрицы больших размеров. Комплексные матричные алгебры Mn(C) являются, с точностью до изоморфизма, единственными конечномерными простыми ассоциативными алгебрами над полем C комплексных чисел. До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввёл кольцо, элементы которого он называл бикватернионами, а современные авторы назвали бы тензорами в C ⊗R H, которое позже было показано изоморфным M2(C). Одна из баз M2(C) состоит из четырех матричных единиц (матриц с одной 1 и всеми остальными элементами равными 0); другая база задаётся единичной матрицей и тремя матрицами Паули. Матричное кольцо над полем является алгеброй Фробениуса, форма Фробениуса задаётся следом произведения: σ(A, B) = tr(AB).

The set of all n × n square matrices over R, denoted Mn(R). This is sometimes called the "full ring of n by n matrices". The set of all upper triangular matrices over R.
The set of all lower triangular matrices over R.
The set of all diagonal matrices over R. This subalgebra of Mn(R) is isomorphic to the direct product of n copies of R.
For any index set I, the ring of endomorphisms of the right R module is isomorphic to the ring of column finite matrices whose entries are indexed by I × I and whose columns each contain only finitely many nonzero entries. The ring of endomorphisms of M considered as a left R module is isomorphic to the ring of row finite matrices. If R is a Banach algebra, then the condition of row or column finiteness in the previous point can be relaxed. With the norm in place, absolutely convergent series can be used instead of finite sums. For example, the matrices whose column sums are absolutely convergent sequences form a ring. Analogously of course, the matrices whose row sums are absolutely convergent series also form a ring. This idea can be used to represent operators on Hilbert spaces, for example. The intersection of the row finite and column finite matrix rings forms a ring If R is commutative, then Mn(R) has a structure of a * algebra over R, where the involution * on Mn(R) is matrix transposition. If A is a C* algebra, then Mn(A) is another C* algebra. If A is non unital, then Mn(A) is also non unital. By the Gelfand–Naimark theorem, there exists a Hilbert space H and an isometric * isomorphism from A to a norm closed subalgebra of the algebra B(H) of continuous operators; this identifies Mn(A) with a subalgebra of B(H⊕n). For simplicity, if we further suppose that H is separable and A B(H) is a unital C* algebra, we can break up A into a matrix ring over a smaller C* algebra. One can do so by fixing a projection p and hence its orthogonal projection 1 − p; one can identify A with , where matrix multiplication works as intended because of the orthogonality of the projections. In order to identify A with a matrix ring over a C* algebra, we require that p and 1 − p have the same "rank"; more precisely, we need that p and 1 − p are Murray–von Neumann equivalent, i. e., there exists a partial isometry u such that 1=p = uu* and 1=1 − p = u*u. One can easily generalize this to matrices of larger sizes. Complex matrix algebras Mn(C) are, up to isomorphism, the only finite dimensional simple associative algebras over the field C of complex numbers. Prior to the invention of matrix algebras, Hamilton in 1853 introduced a ring, whose elements he called biquaternions and modern authors would call tensors in C ⊗R H, that was later shown to be isomorphic to M2(C). One basis of M2(C) consists of the four matrix units (matrices with one 1 and all other entries 0); another basis is given by the identity matrix and the three Pauli matrices. A matrix ring over a field is a Frobenius algebra, with Frobenius form given by the trace of the product: 1=σ(A, B) = tr(AB).

Структура

Матричное кольцо Mn(R) можно отождествить с кольцом эндоморфизмов свободного правого R-модуля ранга n; то есть, Mn(R) ≅ EndR(Rn). Умножение матриц соответствует композиции эндоморфизмов. Кольцо Mn(D) над кольцом деления D является артиновым простым кольцом, особым типом полупростого кольца. Кольца и не являются простыми и не являются артиновыми, если множество I бесконечно, но они все равно являются полными линейными кольцами. Теорема Артина — Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению ⊕DiMi, для некоторого неотрицательного целого числа r, положительных целых чисел ni и колец деления Di. Когда мы рассматриваем Mn(C) как кольцо линейных эндоморфизмов Cn, те матрицы, которые обращаются в нуль на заданном подпространстве V, образуют левый идеал. И наоборот, для данного левого идеала I в Mn(C) пересечение ядер всех матриц в I дает подпространство Cn. При этой конструкции левые идеалы Mn(C) находятся во взаимно однозначном соответствии с подпространствами Cn. Существует взаимно однозначное соответствие между двусторонними идеалами Mn(R) и двусторонними идеалами R. А именно, для каждого идеала I в R множество всех матриц n × n с элементами из I является идеалом в Mn(R), и каждый идеал в Mn(R) возникает таким образом. Это подразумевает, что Mn(R) является простым тогда и только тогда, когда R является простым. Для n ≥ 2 не каждый левый или правый идеал Mn(R) возникает из предыдущей конструкции из левого или правого идеала в R. Например, множество матриц, столбцы которых с индексами от 2 до n все нулевые, образует левый идеал в Mn(R). Это соответствие идеалов фактически возникает из того факта, что кольца R и Mn(R) эквивалентны по Морите. Грубо говоря, это означает, что категория левых R-модулей и категория левых Mn(R)-модулей очень похожи. В силу этого существует естественное биективное соответствие между классами изоморфизма левых R-модулей и левых Mn(R)-модулей, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов Mn(R). То же самое справедливо и для правых модулей и правых идеалов. Благодаря эквивалентности по Морите, Mn(R) наследует любые свойства R, инвариантные относительно Мориты, такие как простота, артиновость, нётеровость, примарность.

The matrix ring Mn(R) can be identified with the ring of endomorphisms of the free right R module of rank n; that is, Mn(R) ≅ EndR(Rn). Matrix multiplication corresponds to composition of endomorphisms. The ring Mn(D) over a division ring D is an Artinian simple ring, a special type of semisimple ring. The rings and are not simple and not Artinian if the set I is infinite, but they are still full linear rings. The Artin–Wedderburn theorem states that every semisimple ring is isomorphic to a finite direct product , for some nonnegative integer r, positive integers ni, and division rings Di. When we view Mn(C) as the ring of linear endomorphisms of Cn, those matrices which vanish on a given subspace V form a left ideal. Conversely, for a given left ideal I of Mn(C) the intersection of null spaces of all matrices in I gives a subspace of Cn. Under this construction, the left ideals of Mn(C) are in bijection with the subspaces of Cn. There is a bijection between the two sided ideals of Mn(R) and the two sided ideals of R. Namely, for each ideal I of R, the set of all n × n matrices with entries in I is an ideal of Mn(R), and each ideal of Mn(R) arises in this way. This implies that Mn(R) is simple if and only if R is simple. For n ≥ 2, not every left ideal or right ideal of Mn(R) arises by the previous construction from a left ideal or a right ideal in R. For example, the set of matrices whose columns with indices 2 through n are all zero forms a left ideal in Mn(R). The previous ideal correspondence actually arises from the fact that the rings R and Mn(R) are Morita equivalent. Roughly speaking, this means that the category of left R modules and the category of left Mn(R) modules are very similar. Because of this, there is a natural bijective correspondence between the isomorphism classes of left R modules and left Mn(R) modules, and between the isomorphism classes of left ideals of R and left ideals of Mn(R). Identical statements hold for right modules and right ideals. Through Morita equivalence, Mn(R) inherits any Morita invariant properties of R, such as being simple, Artinian, Noetherian, prime.

Матричная семеризация

Фактически, для определения Mn(R) достаточно, чтобы R был лишь полукольцом. В этом случае Mn(R) является полукольцом, называемым матричным полукольцом. Аналогично, если R — коммутативное полукольцо, то Mn(R) является матричной полуалгеброй. Например, если R — булево полукольцо (двухэлементная булева алгебра с 1=1 + 1 = 1), то Mn(R) — полукольцо бинарных отношений на множестве из n элементов, где сложением является объединение, умножением — композиция отношений, нулевым элементом является пустое отношение (нулевая матрица), а единичным элементом — отношение идентичности (единичная матрица).