Введение

Алгебраическая структура, также называемая скользящим полем. В алгебре кольцо деления, также называемое скользящим полем, — это нетривиальное кольцо, в котором определено деление на ненулевые элементы. В частности, это нетривиальное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента *a* существует мультипликативный обратный, то есть элемент, обычно обозначаемый *a*<sup>-1</sup>, такой что *a* *a*<sup>-1</sup> = 1. Таким образом, (правое) деление можно определить как *b* / *a* = *b* *a*<sup>-1</sup>, но это обозначение избегают, поскольку может иметь место *a* *b* ≠ *b* *a*. Коммутативное кольцо деления является полем. Малая теорема Уэддерберна утверждает, что все конечные кольца деления коммутативны и, следовательно, являются конечными полями. Исторически кольца деления иногда назывались полями, а поля — «коммутативными полями». В некоторых языках, например во французском, слово, эквивалентное «поле» («corps»), используется как для коммутативных, так и для некомутативных случаев, а различие между ними делается с помощью дополнительных уточнений, таких как «corps commutatif» (коммутативное поле) или «corps gauche» (скользящее поле). Все кольца деления просты, то есть не имеют двухсторонних идеалов, отличных от нулевого идеала и самого кольца.

Отношение к полям и линейной алгебре

Все поля являются кольцами деления, и каждое кольцо деления, не являющееся полем, является некоммутативным. Наиболее известным примером является кольцо кватернионов. Если в конструкциях кватернионов допускать только рациональные, а не действительные коэффициенты, то получается другое кольцо деления. В общем случае, если R — кольцо, а S — простой модуль над R, то по лемме Шура кольцо эндоморфизмов S является кольцом деления; каждое кольцо деления возникает таким образом из некоторого простого модуля. Большая часть линейной алгебры может быть сформулирована и остаётся верной для модулей над кольцом деления D вместо векторных пространств над полем. При этом необходимо указывать, рассматривается правый или левый модуль, и требуется осторожность при правильном различении левого и правого в формулах. В частности, каждый модуль имеет базис, и метод Гаусса может быть использован. Таким образом, всё, что можно определить с помощью этих инструментов, работает для алгебр деления. Матрицы и их произведения определяются аналогично. Однако матрица, имеющая левый обратный, не обязательно имеет правый обратный, и если он есть, то её правый обратный может отличаться от левого. (См. ) Определители не определены для некоммутативных алгебр деления, и всё, что требует этого понятия, нельзя обобщить на некоммутативные алгебры деления. При работе в координатах элементы конечномерного правого модуля можно представить в виде столбцов, которые можно умножать справа на скаляры, а слева на матрицы (представляющие линейные отображения); для элементов конечномерного левого модуля необходимо использовать строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа на матрицы. Двойственное пространство к правому модулю является левым модулем, и наоборот. Транспонирование матрицы следует рассматривать как матрицу над противоположным кольцом деления D^(op), чтобы правило оставалось справедливым. Каждый модуль над кольцом деления свободен, то есть имеет базис, и все базисы модуля имеют одинаковое количество элементов. Линейные отображения между конечномерными модулями над кольцом деления можно описать матрицами; тот факт, что линейные отображения по определению коммутируют со скалярным умножением, наиболее удобно представлять в обозначениях, записывая их с противоположной стороны от векторов, как и скаляры. Алгоритм Гаусса остаётся применимым. Столбцовый ранг матрицы — это размерность правого модуля, порождённого столбцами, а строчный ранг — размерность левого модуля, порождённого строками; то же доказательство, что и для векторного пространства, можно использовать для показа того, что эти ранги равны и определяют ранг матрицы. Кольца деления — это единственные кольца, над которыми каждый модуль свободен: кольцо R является кольцом деления тогда и только тогда, когда каждый R-модуль свободен. Центр кольца деления коммутативен и, следовательно, является полем. Следовательно, каждое кольцо деления является алгеброй деления над своим центром. Кольца деления можно приблизительно классифицировать в зависимости от того, являются ли они конечномерными или бесконечномерными над своим центром. Первые называются центрально конечными, а вторые — центрально бесконечными. Каждое поле одномерно над своим центром. Кольцо гамильтоновых кватернионов образует четырёхмерную алгебру над своим центром, который изоморфен множеству действительных чисел.

Примеры

Как отмечалось выше, все поля являются кольцами деления. Кватернионы образуют некомутативное кольцо деления. Подмножество кватернионов вида a + bi + cj + dk, где a, b, c и d принадлежат фиксированному подполю действительных чисел, является некомутативным кольцом деления. Если это подполе – поле рациональных чисел, то это кольцо деления рациональных кватернионов. Пусть σ – автоморфизм поля ℂ. Обозначим через R кольцо формальных рядов Лорана с комплексными коэффициентами, где умножение определяется следующим образом: вместо простого коммутирования коэффициентов с неопределенным x, для каждого индекса i определяем xᵢσ(aᵢ) вместо aᵢxᵢ. Если σ – нетривиальный автоморфизм комплексных чисел (например, сопряжение), то полученное кольцо рядов Лорана является некомутативным кольцом деления, известным как кольцо скошенных рядов Лорана; если σ = тождественное отображение, то оно имеет стандартное умножение формальных рядов. Это понятие можно обобщить на кольцо рядов Лорана над любым фиксированным полем K, задав нетривиальный автоморфизм σ.

Основные теоремы

Маленькая теорема Уэддерберна: Все конечные кольца с делением являются коммутативными и, следовательно, конечными полями. (Эрнст Витт дал простое доказательство.) Теорема Фробениуса: Единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над действительными числами являются сами действительные числа, комплексные числа и кватернионы.

Связанные понятия

Разделительные кольца ранее назывались "полями" в старом употреблении. Во многих языках для обозначения разделительных колец используется слово, означающее "тело", в некоторых языках обозначая как коммутативные, так и некомутативные разделительные кольца, а в других – конкретно коммутативные разделительные кольца (то, что мы сейчас называем полями в английском языке). Более подробное сравнение можно найти в статье о полях. Название "косое поле" обладает интересной семантической особенностью: модификатор (в данном случае "косое") расширяет область применения базового термина (в данном случае "поле"). Таким образом, поле является частным случаем косого поля, и не каждое косое поле является полем. Хотя разделительные кольца и алгебры, рассматриваемые здесь, предполагают ассоциативное умножение, неассоциативные алгебры деления, такие как октонионы, также представляют интерес. Квазиполе – это алгебраическая структура, подобная разделительному кольцу, за исключением того, что она удовлетворяет только одному из двух законов дистрибутивности.