Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Абстрактная алгебра: понятие
Abstract algebra concept
В абстрактной алгебре поле дробей целостного домена — это наименьшее поле, в которое он может быть вложен. Построение поля дробей моделируется на основе соотношения между целостным доменом целых чисел и полем рациональных чисел. Интуитивно, оно состоит из отношений между элементами целостного домена. Поле дробей целостного домена иногда обозначается как или , а данную конструкцию также называют полем частных, полем дробей или полем частных от деления. Все четыре обозначения широко используются, но их не следует путать с частным кольца по идеалу, что является совершенно иным понятием. Для коммутативного кольца, которое не является целостным доменом, аналогичная конструкция называется локализацией или кольцом частных.
In abstract algebra, the field of fractions of an integral domain is the smallest field in which it can be embedded. The construction of the field of fractions is modeled on the relationship between the integral domain of integers and the field of rational numbers. Intuitively, it consists of ratios between integral domain elements. The field of fractions of an integral domain is sometimes denoted by or , and the construction is sometimes also called the fraction field, field of quotients, or quotient field of All four are in common usage, but are not to be confused with the quotient of a ring by an ideal, which is a quite different concept. For a commutative ring that is not an integral domain, the analogous construction is called the localization or ring of quotients.
Примеры
Поле дробей кольца целых чисел — это поле рациональных чисел: пусть ℤ будет кольцом гауссовских целых чисел. Тогда ℚ(i), поле гауссовских рациональных чисел. Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю. Для данного поля K, поле дробей кольца многочленов от одной переменной (которое является целостным кольцом) называется полем рациональных функций, полем рациональных дробей или полем рациональных выражений и обозначается K(x). Поле дробей кольца свертки полулинейных функций дает пространство операторов, включающее дельта-функцию Дирака, дифференциальный оператор и интегральный оператор. Эта конструкция предоставляет альтернативное представление преобразования Лапласа, не зависящее явно от интегрального преобразования.
The field of fractions of the ring of integers is the field of rationals: Let be the ring of Gaussian integers. Then , the field of Gaussian rationals. The field of fractions of a field is canonically isomorphic to the field itself. Given a field , the field of fractions of the polynomial ring in one indeterminate (which is an integral domain), is called the field of rational functions, field of rational fractions, or field of rational expressions and is denoted The field of fractions of the convolution ring of half line functions yields a space of operators, including the Dirac delta function, differential operator, and integral operator. This construction gives an alternate representation of the Laplace transform that does not depend explicitly on an integral transform.