Комплексные многообразия и почти комплексные структуры

Введение

Многообразие

В дифференциальной и комплексной геометрии, комплексное многообразие — это многообразие с атласом карт на открытый единичный диск в ℂ, таким образом, что функции перехода голоморфны. Термин «комплексное многообразие» используется в разных значениях для обозначения комплексного многообразия в вышеуказанном смысле (который может быть уточнен как интегрируемое комплексное многообразие), и почти комплексного многообразия.

Последствия сложной структуры

Поскольку голоморфные функции гораздо более жёсткие, чем гладкие, теории гладких и комплексных многообразий имеют совершенно разный характер: компактные комплексные многообразия гораздо ближе к алгебраическим многообразиям, чем к дифференцируемым многообразиям. Например, теорема о вложении Уитни утверждает, что любое гладкое n-мерное многообразие можно вложить как гладкое подмногообразие в R2n, в то время как голоморфное вложение комплексного многообразия в Cn – явление редкое. Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие M: любая голоморфная функция на нём постоянна в силу принципа максимума модуля. Теперь, если бы существовало голоморфное вложение M в Cn, то координатные функции Cn ограничили бы на M неголоморфные функции, что противоречило бы компактности, за исключением случая, когда M – это просто точка. Комплексные многообразия, которые можно вложить в Cn, называются многообразиями Стайна и образуют весьма специальный класс многообразий, включающий, например, гладкие комплексные аффинные алгебраические многообразия. Классификация комплексных многообразий гораздо тоньше, чем классификация дифференцируемых многообразий. Например, в размерностях, отличных от четырёх, заданное топологическое многообразие имеет лишь конечное число гладких структур, тогда как топологическое многообразие, допускающее комплексную структуру, может и часто допускает несчётное число комплексных структур. Поверхности Римана, двумерные многообразия, снабжённые комплексной структурой и топологически классифицируемые по роду, являются важным примером этого явления. Множество комплексных структур на заданной ориентируемой поверхности, с точностью до биголоморфного эквивалентности, само образует комплексное алгебраическое многообразие, называемое пространством модулей, структура которого остаётся областью активных исследований. Поскольку переходные отображения между атласами биголоморфны, комплексные многообразия, в частности, гладки и канонически ориентированы (не просто ориентируемы: биголоморфное отображение в (подмножество) Cn задаёт ориентацию, поскольку биголоморфные отображения сохраняют ориентацию).

Since holomorphic functions are much more rigid than smooth functions, the theories of smooth and complex manifolds have very different flavors: compact complex manifolds are much closer to algebraic varieties than to differentiable manifolds. For example, the Whitney embedding theorem tells us that every smooth n dimensional manifold can be embedded as a smooth submanifold of R2n, whereas it is "rare" for a complex manifold to have a holomorphic embedding into Cn. Consider for example any compact connected complex manifold M: any holomorphic function on it is constant by the maximum modulus principle. Now if we had a holomorphic embedding of M into Cn, then the coordinate functions of Cn would restrict to nonconstant holomorphic functions on M, contradicting compactness, except in the case that M is just a point. Complex manifolds that can be embedded in Cn are called Stein manifolds and form a very special class of manifolds including, for example, smooth complex affine algebraic varieties. The classification of complex manifolds is much more subtle than that of differentiable manifolds. For example, while in dimensions other than four, a given topological manifold has at most finitely many smooth structures, a topological manifold supporting a complex structure can and often does support uncountably many complex structures. Riemann surfaces, two dimensional manifolds equipped with a complex structure, which are topologically classified by the genus, are an important example of this phenomenon. The set of complex structures on a given orientable surface, modulo biholomorphic equivalence, itself forms a complex algebraic variety called a moduli space, the structure of which remains an area of active research. Since the transition maps between charts are biholomorphic, complex manifolds are, in particular, smooth and canonically oriented (not just orientable: a biholomorphic map to (a subset of) Cn gives an orientation, as biholomorphic maps are orientation preserving).

Примеры сложных коллекторов

Римановы поверхности. Многообразия Калаби-Яу. Декартово произведение двух комплексных многообразий. Прообраз любого некритического значения голоморфного отображения.

Почти сложные структуры

Почти сложная структура на реальном 2n-многообразии является GL(n, ℂ) структурой (в смысле G-структур) – то есть, касательный пучок снабжён линейной комплексной структурой. Конкретно, это эндоморфизм касательного пучка, чей квадрат равен −I; этот эндоморфизм аналогичен умножению на мнимую единицу i и обозначается J (чтобы избежать путаницы с единичной матрицей I). Почти сложный многообраз обязательно чётен по размерности. Почти сложная структура слабее комплексной структуры: любой комплексный многообраз имеет почти сложную структуру, но не каждая почти сложная структура происходит из комплексной структуры. Обратите внимание, что каждый чётномерный реальный многообраз имеет почти сложную структуру, определённую локально из локальной координатной окрестности. Вопрос в том, может ли эта почти сложная структура быть определена глобально. Почти сложная структура, происходящая из комплексной структуры, называется интегрируемой, и когда требуется указать комплексную структуру в отличие от почти сложной структуры, говорят об интегрируемой комплексной структуре. Для интегрируемых комплексных структур так называемый тензор Нийенхейса обращается в нуль. Этот тензор определяется на парах векторных полей X и Y. Например, 6-мерная сфера S⁶ имеет естественную почти сложную структуру, возникающую из того факта, что она является ортогональным дополнением к i в единичной сфере октанионов, но это не комплексная структура. (Вопрос о том, имеет ли она комплексную структуру, известен как проблема Хопфа, названная в честь Хайнца Хопфа.) Используя почти сложную структуру, можно осмыслить голоморфные отображения и задаться вопросом о существовании голоморфных координат на многообразии. Существование голоморфных координат эквивалентно тому, что многообразие является комплексным (что и подразумевает определение окрестности). Тензорное произведение касательного пучка с комплексными числами даёт комплексифицированный касательный пучок, на котором умножение на комплексные числа имеет смысл (даже если мы начинали с реального многообразия). Собственные значения почти сложной структуры равны ±i, а собственные пространства образуют подпучки, обозначаемые T⁰,¹M и T¹⁰M. Теорема Ньюлендера — Ниренберга показывает, что почти сложная структура является комплексной структурой тогда и только тогда, когда эти подпучки инволютивны, то есть замкнуты относительно скобки Ли векторных полей, и такая почти сложная структура называется интегрируемой.

An almost complex structure on a real 2n manifold is a GL(n, C) structure (in the sense of G structures) – that is, the tangent bundle is equipped with a linear complex structure. Concretely, this is an endomorphism of the tangent bundle whose square is −I; this endomorphism is analogous to multiplication by the imaginary number i, and is denoted J (to avoid confusion with the identity matrix I). An almost complex manifold is necessarily even dimensional. An almost complex structure is weaker than a complex structure: any complex manifold has an almost complex structure, but not every almost complex structure comes from a complex structure. Note that every even dimensional real manifold has an almost complex structure defined locally from the local coordinate chart. The question is whether this almost complex structure can be defined globally. An almost complex structure that comes from a complex structure is called integrable, and when one wishes to specify a complex structure as opposed to an almost complex structure, one says an integrable complex structure. For integrable complex structures the so called Nijenhuis tensor vanishes. This tensor is defined on pairs of vector fields, X, Y by

For example, the 6 dimensional sphere S6 has a natural almost complex structure arising from the fact that it is the orthogonal complement of i in the unit sphere of the octonions, but this is not a complex structure. (The question of whether it has a complex structure is known as the Hopf problem, after Heinz Hopf.) Using an almost complex structure we can make sense of holomorphic maps and ask about the existence of holomorphic coordinates on the manifold. The existence of holomorphic coordinates is equivalent to saying the manifold is complex (which is what the chart definition says). Tensoring the tangent bundle with the complex numbers we get the complexified tangent bundle, on which multiplication by complex numbers makes sense (even if we started with a real manifold). The eigenvalues of an almost complex structure are ±i and the eigenspaces form sub bundles denoted by T0,1M and T1,0M. The Newlander–Nirenberg theorem shows that an almost complex structure is actually a complex structure precisely when these subbundles are involutive, i. e., closed under the Lie bracket of vector fields, and such an almost complex structure is called integrable.

Коллекторы Kähler и CalabiYau

Можно определить аналог римановой метрики для комплексных многообразий, называемый эрмитовой метрикой. Как и риманова метрика, эрмитова метрика состоит из гладко меняющегося положительно определенного внутреннего произведения на касательном расслоении, которое является эрмитовым относительно комплексной структуры на касательном пространстве в каждой точке. Как и в римановом случае, такие метрики всегда существуют в изобилии на любом комплексном многообразии. Если кососимметричная часть такой метрики является симплектической, то есть замкнутой и невырожденной, то метрика называется кэлеровой. Кэлеровы структуры гораздо сложнее найти и гораздо более жесткие. Примеры кэлеровых многообразий включают гладкие проективные многообразия и, в более общем смысле, любое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия. Многообразие Хопфа является примером комплексных многообразий, которые не являются кэлеровыми. Чтобы построить такое многообразие, возьмем комплексное векторное пространство без начала координат и рассмотрим действие группы целых чисел на это пространство умножением на exp(i*n). Частное от деления является комплексным многообразием, первое число Бетти которого равно одному, поэтому, согласно теории Ходжа, оно не может быть кэлеровым. Многообразие Калаби-Яу можно определить как компактное риччи-плоское кэлерово многообразие или, эквивалентно, как многообразие, чей первый класс Черна равен нулю.