Темы

Дифференциальная геометрия

Differential Geometry · 92 статей

  1. Двойственное пространство и касательное пространство в дифференциальной геометрии

    Котенгиантное пространство в дифференциальной геометрии: определение, векторы, размерность и построение котенгиантного расслоения. Теория гладких многообразий.

    #1457 · 2 мин чтения

  2. Симплектические многообразия в дифференциальной геометрии

    Симплитические многообразия в дифференциальной геометрии: определение, свойства и применение в классической механике. Симплитическая геометрия и топология.

    #6863 · 2 мин чтения

  3. Обобщённая теорема Стокса и интегралы на многообразиях

    Обобщённая теорема Стокса: интегралы дифференциальных форм на многообразиях. Обобщение фундаментальных теорем векторного анализа (Грина, Кельвина).

    #7032 · 7 мин чтения

  4. Трёхмерная сфера: математическое описание и свойства

    3-сфера: математическое определение, свойства и связь с многообразиями. Объяснение гиперсферы в 4-мерном пространстве и ее топологические особенности.

    #9347 · 5 мин чтения

  5. Комплексная геометрия: многообразия, функции и приложения

    Комплексная геометрия: изучение многообразий, функций комплексных переменных и голоморфных конструкций. Пересечение алгебраической геометрии и анализа.

    #55572 · 10 мин чтения

  6. Многообразия Калаби-Яу с голономией SU(n)

    Многообразия Калаби-Яу: определение, свойства (Ricci-плоскостность), применение в теории струн и зеркальной симметрии. Алгебраическая и дифференциальная геометрия.

    #56096 · 5 мин чтения

  7. Касательные пространства многообразий

    Касательные пространства многообразия: определение, структура, проекция и топология. Векторные расслоения, поля и кокасательные пространства. Параллелизируемость.

    #60330 · 2 мин чтения

  8. Операции над дифференциальными формами

    Внешняя производная дифференциальных форм: обобщение понятия дифференциала, теоремы Стокса, Гаусса и Грина. Независимый от метрики подход в математике.

    #62018 · 2 мин чтения

  9. Расслоение кокасательных векторов гладкого многообразия.

    Рассмотрение расслоения кокасательных пространств гладкого многообразия в дифференциальной геометрии. Определение, свойства и связь с касательным расслоением.

    #62154 · 4 мин чтения

  10. Математическая параметризация векторных пространств другим пространством.

    Векторные расслоения в математике: параметризация векторных пространств другим пространством. Определение, примеры (тривиальные, касательные). SEO-оптимизация.

    #71533 · 7 мин чтения

  11. Параллельный перенос в дифференциальной геометрии

    Параллельный перенос в дифференциальной геометрии: способ переноса геометрических данных вдоль кривых на многообразии. Определение и связь с аффинной связностью.

    #72318 · 2 мин чтения

  12. Характеристические классы векторных расслоений: классы Черна

    Классы Черна: характеристические классы векторных расслоений в алгебраической топологии и геометрии. Применение в физике и теории струн.

    #73684 · 8 мин чтения

  13. Инфинитезимальная версия группы лиевых групп

    Ли-алгеброид: обобщение алгебры Ли для теории групп Ли. Связь с группоидами Ли, роль в переходе от глобальных к бесконечно малым задачам.

    #76590 · 6 мин чтения

  14. Принципиальный расслоение с волокнами — групповые торсоры

    Принципиальный расслоение: математическое понятие, формализующее произведение пространства и группы. Описывает действие группы, проекции и примеры (расслоение кадров).

    #76593 · 5 мин чтения

  15. Изоморфизм симплектических многообразий

    Симплектоморфизмы: изоморфизмы симплектических многообразий, сохраняющие структуру фазового пространства. Канонические преобразования и теорема Лиувилля.

    #76835 · 2 мин чтения

  16. Дифференциальные 1-формы и расслоение касательных векторов

    Дифференциальные формы первого рода: определение, свойства и локальное представление в дифференциальной геометрии. Разложение по координатам.

    #77305 · 1 мин чтения

  17. Теорема Атия — Зингера: История и обобщения.

    Теорема Атия-Зингера: фундаментальный результат в дифференциальной геометрии, связывающий аналитический и топологический индексы. Приложения в физике.

    #79140 · 5 мин чтения

  18. Пуассоновы алгебры и многообразия: обзор и свойства.

    Пуассоновская алгебра в математике: определение, свойства, связь с механикой и квантовыми группами. Пуассоновы многообразия и их применение.

    #82912 · 2 мин чтения

  19. Характеристические классы главных расслоений и когомологии

    Характеристические классы: связь главных расслоений с когомологиями. Глобальные инварианты, измеряющие "скрученность" расслоения и наличие сечений.

    #85810 · 4 мин чтения

  20. Теорема Серра — Свона: связь векторных расслоений и проективных модулей.

    Теорема Серра-Свана: связь геометрических векторных расчётов и алгебраических проективных модулей. K-теория, гладкие многообразия, пространства сечений.

    #85813 · 2 мин чтения

  21. Расслоение кадров: Геометрия и связь с касательным расслоением.

    Расслоение кадров в математике: определение, свойства и связь с векторными расслоениями и касательным расслоением. GL(k, R) структура. FM, GL(M).

    #86295 · 5 мин чтения

  22. Сечения расслоений: определение, свойства и препятствия существования.

    Сечение расслоения в топологии: определение, свойства и примеры (векторные поля, 1-формы). Понимание сечений как обобщения графов функций.

    #86455 · 3 мин чтения

  23. Фолиации многообразий: определение и свойства

    Фолиация в математике: определение, свойства и виды (дифференцируемые, кусочно-линейные). Разложение многообразий на подмногообразия – листья.

    #86887 · 7 мин чтения

  24. Грассманианы: Математическое пространство подпространств.

    Грассманиан в математике: определение, свойства и применение. Многообразия, параметризующие линейные подпространства. Координаты Плюккера и обобщения.

    #87318 · 5 мин чтения

  25. Классы Понтрягина: характеристические классы векторных расслоений.

    Классы Понтрягина в математике: характеристические классы вещественных векторных расслоений. Свойства, теорема Новикова, связь с гомотопическим типом.

    #89327 · 2 мин чтения

  26. Многообразие Келера: Риманова, комплексная и симплектическая структуры.

    Кэлеров многообразие: определение, свойства и применение в дифференциальной геометрии. Комплексная, риманова и симплектическая структуры. Геометрия Кэлера.

    #89986 · 13 мин чтения

  27. Соединения на векторных расслоениях и параллельный перенос

    Соединения на расслоениях: понятие параллельного переноса, ковариантная производная, обобщение связи Леви-Чивиты. Математика, геометрия, теория калибровки.

    #90218 · 8 мин чтения

  28. Замкнутые и точные дифференциальные формы в векторном исчислении.

    Векторный анализ: замкнутые и точные дифференциальные формы. Определение, связь с внешним дифференцированием (dα=0) и потенциальными функциями.

    #92276 · 4 мин чтения

  29. Обобщенный подвижный базис векторного пространства

    Понятие движущегося репера в математике: обобщение упорядоченного базиса векторного пространства, используемое в дифференциальной геометрии и для систем координат.

    #98753 · 6 мин чтения

  30. Контактная геометрия: структура и применения

    Контактная геометрия: раздел математики, изучающий гладкие многообразия и гиперплоскостные распределения. Альтернатива симпл. геометрии, механика.

    #104865 · 2 мин чтения

  31. Теория Ходжа и когомологии многообразий

    Теория Ходжа: изучение когомологий гладких многообразий с помощью дифференциальных уравнений и гармонических форм. Применение в римановой и кэлеровой геометрии.

    #108614 · 7 мин чтения

  32. Комплексные многообразия и почти комплексные структуры

    Комплексные многообразия: определение, свойства и отличия от гладких многообразий. Холоморфные функции, вложения и связь с алгебраическими многообразиями.

    #109878 · 4 мин чтения

  33. Гладкость, почти комплексные многообразия и структура Эресманна — Хопфа

    Гладкие многообразия и почти комплексные структуры в математике: определение, связь с комплексными многообразиями и применение в симплектической геометрии.

    #110485 · 3 мин чтения

  34. Лемма Пуанкаре: условия точности дифференциальных форм.

    Лемма Пуанкаре: достаточное условие для точной дифференциальной формы. Применение в математике, теории гомологий и де Рама. Введена Анри Пуанкаре (1886).

    #122125 · 5 мин чтения

  35. Теорема Фробениуса о нахождении максимального множества решений линейных ПДУ первого порядка.

    Теорема Фробениуса: условия существования решений систем линейных ПДУ первого порядка. Интегрируемость, многообразия, дифференциальная топология.

    #122458 · 10 мин чтения

  36. Голономия связности в дифференциальной геометрии

    Голономия в дифференциальной геометрии: измерение искривления связности и влияния переноса вдоль замкнутых контуров. Глобальные и локальные свойства.

    #128858 · 6 мин чтения

  37. Поверхности K3: определение и свойства

    Поверхности K3: определение, свойства и классификация в математике. Обсуждаются многообразия Калаби-Яу и их роль в теории поверхностей с коразмерностью 0.

    #128999 · 13 мин чтения

  38. Гиперкэлеровы многообразия: определение, свойства и примеры.

    Гиперкэлеровы многообразия: определение, свойства (Риччи-плоские, Калаби-Яу). История развития (Калаби, Бергер, Бонан, Крейнс). Математика, геометрия.

    #129000 · 2 мин чтения

  39. Обобщение формализма БРСТ: формализм Баталина-Вилковского

    Формализм Баталина-Вилковского (BV): обобщение BRST для лагранжевых калибровочных теорий, включая гравитацию и супергравитацию. Антиполя и оператор Δ.

    #132423 · 2 мин чтения

  40. Классы Штифеля — Уитни: Топологические инварианты векторных расслоений.

    Классы Штифеля-Уитни: топологические инварианты векторных расслоений. Описывают препятствия к построению независимых сечений, неориентируемость.

    #154396 · 4 мин чтения

  41. Первоклассные ограничения в гамильтоновой механике и их свойства.

    Физика: ограничения первого класса в гамильтоновой системе. Определение, вычисление, связь с ограничениями второго класса и квантованием.

    #154723 · 6 мин чтения

  42. Пуассоновы структуры в дифференциальной геометрии

    Поясновское многообразие в дифференциальной геометрии: определение, структура, связь с симплектическими многообразиями и механикой Гамильтона. История и применение.

    #155097 · 4 мин чтения

  43. Обобщение гамильтоновой механики с использованием множественных гамильтонианов

    Механика Намбу: обобщение гамильтоновой механики с использованием нескольких гамильтонианов. Математические основы, многообразия Намбу-Пуассона.

    #155102 · 1 мин чтения

  44. Супермногообразия: Обобщения и Подходы к Определению

    Супермногообразия: обобщение понятия многообразия в математике и физике, основанное на суперсимметрии. Бозонные и фермионные координаты, локальные карты.

    #156112 · 3 мин чтения

  45. Представления группы диффеоморфизмов гладких многообразий

    Представления диффеоморфизмов гладких многообразий: обзор теории, возникшей из физики (алгебра тока). Работы Вершика, Гельфанда, Кириллова и Исмагилова.

    #159624 · 1 мин чтения

  46. Дифференциальные формы и интегрируемость систем уравнений.

    Дифференциальные формы в математике: применение в решении систем уравнений, геометрии и алгебре. Пфаффовы системы и интегрируемые системы.

    #165610 · 2 мин чтения

  47. Гомоморфизм Черна — Вейля: связь алгебраической топологии и дифференциальной геометрии.

    Гомоморфизм Черна-Вейля: ключевая конструкция в теории характеристических классов, связывающая алгебраическую топологию и дифференциальную геометрию. Определение и применение.

    #165802 · 1 мин чтения

  48. Многообразия Штейна: теория и свойства.

    Многообразия Штейна: определение, свойства и теорема Бена-Штейна в комплексном анализе. Комплексные подмногообразия, римановы поверхности и сингулярности.

    #175604 · 3 мин чтения

  49. Псевдогруппы: от геометрии Ли до бесконечномерных симметрий.

    Псевдогруппы в математике: обобщение понятия группы, возникшее из геометрии Ли для изучения симметрий дифференциальных уравнений. Теория Картана.

    #199391 · 2 мин чтения

  50. Редукция группы структуры на расслоении касательных кадров

    G-структуры в дифференциальной геометрии: определение, связь с тензорными полями и метриками. Редукция структуры группы и примеры (комплексная, симплектическая).

    #201968 · 3 мин чтения

  51. Многообразие Стифеля: определение и свойства.

    Многообразие Стифеля: определение, свойства и применение в математике. Ортонормальные фреймы, компактные и некомпактные формы, мера на многообразии.

    #212585 · 2 мин чтения

  52. Струи и пространства струй в дифференциальной геометрии.

    Джеты в математике: определение, построение и обобщения для функций одной и нескольких переменных. Теория джетов и пространства джетов между многообразиями.

    #225358 · 3 мин чтения

  53. Комплексные векторные расслоения: определение и свойства.

    Комплексный векторный расчёт: определение, комплексные пространства, метрики, классы Черна и ориентация Эйлера. Математические основы и свойства.

    #226790 · 1 мин чтения

  54. Теорема Дарбу о симплектических многообразиях

    Теорема Дарбу в дифференциальной геометрии: нормальная форма для 1-форм, обобщение теоремы Фробениуса. Основа симплектической геометрии и локальной симплектоморфности.

    #227066 · 2 мин чтения

  55. Гамильтоновы векторные поля на симплектических многообразиях

    Гамильтоновы векторные поля: определение, свойства и связь с классической механикой. Канонические преобразования, симплектоморфизмы и уравнения Гамильтона.

    #254435 · 1 мин чтения

  56. Метод эквивалентности Картана в дифференциальной геометрии

    Метод эквивалентности Картана: определение тождественности геометрических структур в дифференциальной геометрии. Риманова геометрия, проективные структуры и др.

    #256821 · 4 мин чтения

  57. Дифференциальные формы объёма: определение и свойства.

    Дифференциальные формы в математике: объёмные формы, размерность многообразий, ориентируемость. Изучение и свойства объёмных форм и плотностей.

    #258208 · 2 мин чтения

  58. Тавтологическая форма на расслоении касательных и кокасательных векторов.

    Тавтологическая 1-форма в математике и физике: связь скорости и импульса, мост между лагранжевой и гамильтоновой механикой, симплектическая форма.

    #258226 · 1 мин чтения

  59. Произведение Мойяла: пример звездного произведения в фазовом пространстве.

    Продукт Мойяла (звёздное произведение Вейля-Грёненвольда) – некоммутативное умножение функций в фазовом пространстве. Математическое определение, история и связь с другими алгебрами.

    #266837 · 1 мин чтения

  60. Расчетные пучки-гербы и когомологии Делиня.

    Пучки-гербы в математике: геометрическая модель 1-гербов и классов Делиня. Определение, связь с когомологиями и применение в топологии.

    #270209 · 2 мин чтения

  61. Неоднозначность фиксации калибровки в теории поля

    Фиксация калибровки в теории поля: проблемы, топологические препятствия и локальные решения. Выбор представителей орбит калибровки и условия фиксации.

    #271944 · 5 мин чтения

  62. Многообразия и дифференциальное исчисление

    Дифференциальные многообразия: определение, свойства и применение математического анализа. Аппарат для вычислений на поверхностях и пространствах.

    #282451 · 25 мин чтения

  63. Основы дифференциального исчисления и его обобщения.

    Производная в математике: основы дифференциального исчисления, обобщения, внешняя производная и её применение (градиент, ротор, дивергенция).

    #284376 · 7 мин чтения

  64. Псевдоголоморфные кривые: от топологии к теории струн.

    Псевдоголоморфные кривые: определение, свойства и применение в симплектической геометрии и теории струн. Инварианты Громова-Виттена, когомологии Флоера.

    #298481 · 2 мин чтения

  65. Инварианты Громова — Виттена: Интуитивное объяснение и методы вычисления.

    Инварианты Громова-Витена: определение, применение в симплектической топологии и алгебраической геометрии. Роль в теории струн и классификации многообразий.

    #299132 · 4 мин чтения

  66. Нормальные расслоения в алгебраической геометрии

    Нормальные расслоения в алгебраической геометрии: определение, связь с касательными расслоениями, теорема Уитни о вложении и стабильные нормальные расслоения.

    #305203 · 1 мин чтения

  67. Комплексные дифференциальные формы на многообразиях

    Комплексные дифференциальные формы в математике: определение, применение в геометрии, алгебраической геометрии и теории спиноров. Основы теории Ходжа.

    #315910 · 1 мин чтения

  68. Германовы многообразия в дифференциальной геометрии

    Германовы многообразия в дифференциальной геометрии: определение, связь с римановыми многообразиями и комплексной структурой. Математика, геометрия.

    #327516 · 2 мин чтения

  69. Кватернионно-келеровы многообразия: геометрия и классификация голономии Римана.

    Кватернионные кэлеровы многообразия: определение, свойства, классификация римановых голономий. Холономия Sp(n)·Sp(1), теорема Лефшеца и многообразия Берже.

    #327528 · 1 мин чтения

  70. Фло́еровская гомоло́гия в симплекти́ческой тополо́гии

    Фло́ер омоло́гия: инструмент в симплектической топологии и геометрии. Изучение многообразий, теорема Арнольда, лагранжевы подмногообразия и др.

    #330295 · 14 мин чтения

  71. Окружностные расслоения: математические и физические аспекты

    Окружающие расслоения: математическое определение, связь с физикой (электромагнетизм), примеры на поверхностях и многообразиях. U(1) и SO(2) расслоения.

    #338500 · 2 мин чтения

  72. Кватернионное проективное пространство

    Кватернионное проективное пространство: определение, свойства и размерность в математике. Обобщение реального и комплексного проективных пространств.

    #339603 · 3 мин чтения

  73. Математический анализ на многообразиях: Строгий подход Спивака

    Математический анализ на многообразиях Спивака: строгий учебник по многомерному исчислению, дифференциальным формам и интегралам. Теоремы Гаусса, Кельвина-Стокса.

    #341879 · 2 мин чтения

  74. Спиновые структуры на многообразиях: топологические препятствия и построение.

    Спиновые структуры в дифференциальной геометрии: определение, спинорные расслоения, применение в квантовой теории поля и K-теории. Основы спиновой геометрии.

    #342374 · 9 мин чтения

  75. Тавтологический расслоение: определение и свойства.

    Тавтологический расслоение в математике: определение, свойства и роль в классификации векторных расслоений. Важно для изучения характеристических классов.

    #347768 · 4 мин чтения

  76. Эйлеров класс ориентированных вещественных расслоений

    Эйлеров класс в алгебраической топологии: характеристический класс ориентированных векторных расслоений. Обобщение эйлеровой характеристики гладких многообразий.

    #349243 · 2 мин чтения

  77. Distribution (differential geometry)

    #352263 · 5 мин чтения

  78. Инварианты Громова-Таубса и контактная гомология ЭХ: связь с уравнениями Зейберга-Виттена.

    Инвариант Громова-Таубса: счёт псевдоголоморфных кривых в симплектических 4-многообразиях. Связь с уравнениями Зейберга-Виттена, индекс кривых.

    #354664 · 1 мин чтения

  79. Векторные поля на сфере: теорема Адамса о максимальном числе линейно независимых полей.

    Векторные поля на сфере: теорема о "лохматом шаре" и работы Адамса. Сколько линейно независимых гладких полей возможно? K-теория и классификация.

    #361602 · 1 мин чтения

  80. Параллелизуемые многообразия: теория и примеры.

    Гладкие многообразия: параллелизируемость, векторные поля, касательное пространство и расслоение. Примеры: окружность, тор, группы Ли. Математика.

    #362144 · 2 мин чтения

  81. CR-многообразия и геометрия Каши-Римана

    CR-многообразия: определение, структура Каши-Римана, комплексное распределение L и форма Леви. Строгая псевдовыпуклость и ее роль в анализе. Математика.

    #363888 · 2 мин чтения

  82. Лагранжево Грассманиано и Индекс Маслова

    Лагранжев Грассманиан: гладкое многообразие лагранжевых подпространств симплектического пространства. Свойства, размерность, связь с группами U(n), O(n), Sp(n).

    #371211 · 2 мин чтения

  83. Отображение момента в симплектической геометрии

    Отображение момента в симплектической геометрии: обобщение импульса, построение сохраняющихся величин и симплектических многообразий. Математика, Lie группы.

    #401341 · 4 мин чтения

  84. Вертикальные и горизонтальные расслоения в гладких расслоениях.

    Вертикальный и горизонтальный расслоения в математике: определение, свойства, связь с касательным расслоением и волокнами. Теория расслоений, векторные расслоения.

    #422055 · 5 мин чтения

  85. Гипотеза Вайнштейна: Доказательство существования периодических орбит в контактной геометрии.

    Гипотеза Вайнштейна в математике: существование периодических орбит потоков Рееба на компактных контактных многообразиях. Симплектическая геометрия.

    #424840 · 2 мин чтения

  86. Скрученная K-теория: математические и физические аспекты.

    Скрученная K-теория: математическая теория с коэффициентами, развивающая алгебраическую топологию и алгебру. Геометрическая формулировка и класс когомологий.

    #434923 · 4 мин чтения

  87. Соединение Госса — Манина: Геометрические дифференциальные уравнения и когомологии.

    Соединение Госса–Манина: связь между когомологиями алгебраических многообразий. Уравнение Пикара–Фукса, плоские сечения и топологическая интерпретация.

    #449104 · 2 мин чтения

  88. Symplectic cut

    #458481 · 1 мин чтения

  89. Holomorphic vector bundle

    #461454 · 2 мин чтения

  90. Darboux derivative

    #479962 · 2 мин чтения

  91. Weitzenböck identity

    #492580 · 1 мин чтения

  92. Ehresmann connection

    #505710 · 3 мин чтения