Введение
Утверждение об интегрировании на многообразиях: обобщенная теорема
the generalized theorem
В векторном исчислении и дифференциальной геометрии обобщенная теорема Стокса (иногда с апострофом как теорема Стокса или теорема Стокса), также называемая теоремой Стокса–Картана, представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях, которое упрощает и обобщает несколько теорем из векторного исчисления. В частности, фундаментальная теорема исчисления является частным случаем, когда многообразие представляет собой отрезок прямой, теорема Грина и теорема Стокса – случаями поверхности в или , а теорема о дивергенции – случаем объема в . Следовательно, теорему иногда называют фундаментальной теоремой многомерного исчисления. Теорема Стокса утверждает, что интеграл дифференциальной формы по границе ориентируемого многообразия равен интегралу ее внешней производной по всему , то есть
Теорема Стокса была сформулирована в современном виде Эли Картаном в 1945 году, после более ранних работ по обобщению теорем векторного исчисления Вито Вольтеррой, Эдуардом Гурсатом и Анри Пуанкаре. Эта современная форма теоремы Стокса является обширным обобщением классического результата, который лорд Кельвин сообщил Джорджу Стоксу в письме от 2 июля 1850 года. Стокc поставил теорему в качестве вопроса на экзамене на премию Смита в 1854 году, что привело к тому, что результат стал носить его имя. Впервые она была опубликована Германом Ханкелем в 1861 году. Этот классический случай связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля по поверхности (то есть поток ) в трехмерном евклидовом пространстве с линейным интегралом векторного поля по границе поверхности.
Введение
Вторая фундаментальная теорема исчисления утверждает, что интеграл функции на интервале может быть вычислен путем нахождения первообразной функции :
Теорема Стоукса является широким обобщением этой теоремы в следующем смысле. Выбором , в терминах дифференциальных форм, это означает, что является внешней производной 0-формы, то есть функции, : другими словами, общая теорема Стоукса применяется к дифференциальным формам более высокой степени, а не только к 0-формам, таким как закрытый интервал – простой пример одномерного многообразия с границей. Его граница – множество, состоящее из двух точек, , и интегрирование по интервалу может быть обобщено на интегрирование форм на многомерном многообразии. Требуется два технических условия: многообразие должно быть ориентируемым, а форма должна обладать компактным носителем, чтобы интеграл был определен однозначно. Две точки, и , образуют границу замкнутого интервала. В более общем случае, теорема Стоукса применима к ориентированным многообразиям с границей. Граница многообразия сама является многообразием и наследует естественную ориентацию от ориентации . Например, естественная ориентация интервала задает ориентацию двух граничных точек. Интуитивно, наследует ориентацию, противоположную , поскольку они находятся на противоположных концах интервала. Таким образом, "интегрирование" по двум граничным точкам, , сводится к вычислению разности. В еще более простых терминах, точки можно рассматривать как границы кривых, то есть как 0-мерные границы 1-мерных многообразий. Таким образом, как можно найти значение интеграла по 1-мерному многообразию, рассматривая первообразную в 0-мерных границах, , так можно обобщить фундаментальную теорему исчисления, с некоторыми дополнительными условиями, для вычисления значения интегралов по -мерным многообразиям, рассматривая первообразную в -мерных границах многообразия. Итак, фундаментальная теорема гласит:
Топологические предварительные работы; интеграция по цепочкам
Пусть M – гладкое многообразие. (Гладкий) сингулярный k-симплекс в M определяется как гладкое отображение из стандартного симплекса в R^k в M. Группа Ck(M, Z) сингулярных k-цепей на M определяется как свободная абелева группа, порожденная множеством сингулярных k-симплексов в M. Эти группы вместе с граничным оператором ∂ образуют цепной комплекс. Соответствующая группа гомологий (соответственно, когомологий) изоморфна обычной сингулярной группе гомологий Hk(M, Z) (соответственно, сингулярной группе когомологий H^k(M, Z)), определяемой с использованием непрерывных, а не гладких симплексов в M.
On the other hand, the differential forms, with exterior derivative, d, as the connecting map, form a cochain complex, which defines the de Rham cohomology groups
Differential k forms can be integrated over a k simplex in a natural way, by pulling back to 'R'^(k). Extending by linearity allows one to integrate over chains. This gives a linear map from the space of k forms to the kth group of singular cochains, C^(k)(M, 'Z'), the linear functionals on Ck(M, 'Z'). In other words, a k form ω defines a functional
on the k chains. Stokes' theorem says that this is a chain map from de Rham cohomology to singular cohomology with real coefficients; the exterior derivative, d, behaves like the dual of ∂ on forms. This gives a homomorphism from de Rham cohomology to singular cohomology. On the level of forms, this means:
closed forms, i. e., 1=dω = 0, have zero integral over boundaries, i. e. over manifolds that can be written as ∂Σc Mc, and
exact forms, i. e., 1=ω = dσ, have zero integral over cycles, i. e. if the boundaries sum up to the empty set: 1=∂Σc Mc = ∅. De Rham's theorem shows that this homomorphism is in fact an isomorphism. So the converse to 1 and 2 above hold true. In other words, if {ci} are cycles generating the kth homology group, then for any corresponding real numbers, {ai} , there exist a closed form, ω, such that
and this form is unique up to exact forms. Stokes' theorem on smooth manifolds can be derived from Stokes' theorem for chains in smooth manifolds, and vice versa. Formally stated, the latter reads:
С другой стороны, дифференциальные формы с внешней производной d в качестве связывающего отображения образуют комплекс коцепей, который определяет группы когомологий де Рама. Дифференциальные k-формы можно интегрировать по k-симплексу естественным образом, перенося их в R^k. Расширяя по линейности, можно интегрировать по цепям. Это дает линейное отображение из пространства k-форм в k-ю группу сингулярных коцепей C^k(M, Z), то есть в пространство линейных функционалов на Ck(M, Z). Иными словами, k-форма ω определяет функционал на k-цепях. Теорема Стокса утверждает, что это отображение цепей из когомологий де Рама в сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами; внешняя производная d ведет себя как двойственное к ∂ отображение на формах. Это дает гомоморфизм из когомологий де Рама в сингулярные когомологии. На уровне форм это означает:
On the other hand, the differential forms, with exterior derivative, d, as the connecting map, form a cochain complex, which defines the de Rham cohomology groups
Differential k forms can be integrated over a k simplex in a natural way, by pulling back to 'R'^(k). Extending by linearity allows one to integrate over chains. This gives a linear map from the space of k forms to the kth group of singular cochains, C^(k)(M, 'Z'), the linear functionals on Ck(M, 'Z'). In other words, a k form ω defines a functional
on the k chains. Stokes' theorem says that this is a chain map from de Rham cohomology to singular cohomology with real coefficients; the exterior derivative, d, behaves like the dual of ∂ on forms. This gives a homomorphism from de Rham cohomology to singular cohomology. On the level of forms, this means:
closed forms, i. e., 1=dω = 0, have zero integral over boundaries, i. e. over manifolds that can be written as ∂Σc Mc, and
exact forms, i. e., 1=ω = dσ, have zero integral over cycles, i. e. if the boundaries sum up to the empty set: 1=∂Σc Mc = ∅. De Rham's theorem shows that this homomorphism is in fact an isomorphism. So the converse to 1 and 2 above hold true. In other words, if {ci} are cycles generating the kth homology group, then for any corresponding real numbers, {ai} , there exist a closed form, ω, such that
and this form is unique up to exact forms. Stokes' theorem on smooth manifolds can be derived from Stokes' theorem for chains in smooth manifolds, and vice versa. Formally stated, the latter reads:
закрытые формы, то есть dω = 0, имеют нулевой интеграл по границам, то есть по многообразиям, которые можно представить в виде ∂Σc M, и
точные формы, то есть ω = dσ, имеют нулевой интеграл по циклам, то есть если границы суммируются в пустое множество: ∂Σc M = ∅. Теорема де Рама показывает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом. Следовательно, обратное к 1 и 2 выше также верно. Иными словами, если {ci} – это циклы, порождающие k-ю группу гомологий, то для любых соответствующих вещественных чисел {ai} существует закрытая форма ω такая, что и эта форма единственна с точностью до точных форм. Теорему Стокса для гладких многообразий можно вывести из теоремы Стокса для цепей в гладких многообразиях и наоборот. Формально, последняя формулируется следующим образом:
On the other hand, the differential forms, with exterior derivative, d, as the connecting map, form a cochain complex, which defines the de Rham cohomology groups
Differential k forms can be integrated over a k simplex in a natural way, by pulling back to 'R'^(k). Extending by linearity allows one to integrate over chains. This gives a linear map from the space of k forms to the kth group of singular cochains, C^(k)(M, 'Z'), the linear functionals on Ck(M, 'Z'). In other words, a k form ω defines a functional
on the k chains. Stokes' theorem says that this is a chain map from de Rham cohomology to singular cohomology with real coefficients; the exterior derivative, d, behaves like the dual of ∂ on forms. This gives a homomorphism from de Rham cohomology to singular cohomology. On the level of forms, this means:
closed forms, i. e., 1=dω = 0, have zero integral over boundaries, i. e. over manifolds that can be written as ∂Σc Mc, and
exact forms, i. e., 1=ω = dσ, have zero integral over cycles, i. e. if the boundaries sum up to the empty set: 1=∂Σc Mc = ∅. De Rham's theorem shows that this homomorphism is in fact an isomorphism. So the converse to 1 and 2 above hold true. In other words, if {ci} are cycles generating the kth homology group, then for any corresponding real numbers, {ai} , there exist a closed form, ω, such that
and this form is unique up to exact forms. Stokes' theorem on smooth manifolds can be derived from Stokes' theorem for chains in smooth manifolds, and vice versa. Formally stated, the latter reads:
Основной принцип
Для упрощения этих топологических аргументов полезно рассмотреть лежащий в основе принцип на примере для 1=d = 2 измерений. Основная идея становится понятной из диаграммы слева, которая демонстрирует, что в ориентированной мозаике многообразия внутренние пути обходятся в противоположных направлениях; их вклады в интеграл по траекториям таким образом взаимно уничтожаются. Следовательно, вклад остается только от границы. Таким образом, достаточно доказать теорему Стокса для достаточно мелкой мозаики (или, что эквивалентно, симплексов), что обычно не представляет сложности.
Обобщение на грубые наборы
Вышеуказанная формулировка, в которой является гладким многообразием с границей, недостаточна для многих приложений. Например, если область интегрирования определена как плоская область между двумя координатами и графиками двух функций, то часто бывает, что область имеет углы. В таком случае угловые точки означают, что не является гладким многообразием с границей, и, следовательно, вышеуказанное утверждение теоремы Стокса неприменимо. Тем не менее, можно проверить, что заключение теоремы Стокса все еще верно. Это происходит потому, что и его граница хорошо определены вдали от небольшого множества точек (множества меры нуль). Версия теоремы Стокса, допускающая негладкость, была доказана Уитни. Предположим, что является связным ограниченным открытым подмножеством Назовем стандартной областью, если она удовлетворяет следующему свойству: существует подмножество , открытое в , чей комплемент в имеет нулевую меру Гаусдорфа; и такое, что каждая точка в имеет обобщенный нормальный вектор. Это вектор, такой, что если выбрана система координат, в которой является первым базисным вектором, то в открытой окрестности вокруг существует гладкая функция такая, что является графиком, а – областью. Уитни отмечает, что граница стандартной области является объединением множества нулевой меры Гаусдорфа и конечного или счетного объединения гладких многообразий, каждое из которых имеет область только с одной стороны. Затем он доказывает, что если является стандартной областью в , является -формой, которая определена, непрерывна и ограничена на , гладка на , интегрируема на , и такой, что интегрируема на , то теорема Стокса выполняется, то есть,
Изучение свойств меры грубых множеств приводит к геометрической теории меры. Еще более общие версии теоремы Стокса были доказаны Федерером и Харрисоном.
Особые случаи
Общая форма теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм более мощная и удобная в использовании, чем частные случаи. Традиционные варианты можно сформулировать, используя декартовы координаты без аппарата дифференциальной геометрии, что делает их более понятными. К тому же, они появились раньше, и их названия более распространены. Традиционные формулировки часто кажутся более удобными для практикующих ученых и инженеров, однако неестественность традиционного подхода становится заметной при использовании других систем координат, даже привычных, таких как сферические или цилиндрические. Существует вероятность путаницы в наименованиях и использовании двойственных формулировок.
Классический случай (векторный анализ)
Это (дуализированный) (1 + 1)-мерный случай для 1-формы (дуализированный, поскольку это утверждение о векторных полях). Этот особый случай часто просто называют теоремой Стокса во многих вводных университетских курсах векторного исчисления и используется в физике и инженерии. Его также иногда называют теоремой о роторе. Классическая теорема Стокса связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля по поверхности в трехмерном евклидовом пространстве с линейным интегралом векторного поля по границе этой поверхности. Это частный случай общей теоремы Стокса (при ) после отождествления векторного поля с 1-формой с помощью метрики в трехмерном евклидовом пространстве. Кривая, по которой берется линейный интеграл, , должна иметь положительную ориентацию, то есть направлена против часовой стрелки, когда нормаль к поверхности, , направлена на наблюдателя. Одним из следствий этой теоремы является то, что силовые линии векторного поля с нулевым ротором не могут образовывать замкнутые контуры. Формулу можно переписать следующим образом:
Теорема Грина
Теорема Грина сразу же узнается как третий подынтегральный член в интегралах обеих сторон, выраженных через P, Q и R, указанных выше.