Комплексная геометрия: многообразия, функции и приложения

Введение

Изучение комплексных многообразий и нескольких комплексных переменных

В математике комплексная геометрия — это изучение геометрических структур и построений, возникающих из комплексных чисел или описываемых ими. В частности, комплексная геометрия занимается изучением пространств, таких как комплексные многообразия и комплексные алгебраические многообразия, функций нескольких комплексных переменных и голоморфных конструкций, таких как голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки. Применение трансцендентальных методов к алгебраической геометрии относится к этой категории, наряду с более геометрическими аспектами комплексного анализа. Комплексная геометрия находится на пересечении алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и комплексного анализа и использует инструменты из всех трех областей. Благодаря сочетанию методов и идей из различных областей, задачи в комплексной геометрии часто оказываются более разрешимыми или конкретными, чем в общем случае. Например, классификация комплексных многообразий и комплексных алгебраических многообразий посредством программы минимальных моделей и построение модульных пространств отличает эту область от дифференциальной геометрии, где классификация возможных гладких многообразий представляет собой значительно более сложную задачу. Кроме того, дополнительная структура комплексной геометрии позволяет, особенно в компактном случае, с большим успехом доказывать глобальные аналитические результаты, включая доказательство Шингом Тунгом Яу гипотезы Калаби, соответствие Хитчина — Кобаяси, неабелево соответствие Ходжа и результаты существования метрик Кэлера — Эйнштейна и метрик Кэлера с постоянной скалярной кривизной. Эти результаты часто находят применение в комплексной алгебраической геометрии, и, например, недавняя классификация многообразий Фано с использованием K-устойчивости значительно выиграла как от методов анализа, так и от чистой бирациональной геометрии. Комплексная геометрия имеет важное применение в теоретической физике, где она необходима для понимания конформной теории поля, теории струн и зеркальной симметрии. Она часто служит источником примеров в других областях математики, в том числе в теории представлений, где обобщенные многообразия флагов можно изучать с использованием комплексной геометрии, что приводит к теореме Бореля — Вейля — Ботта, или в симплектической геометрии, где многообразия Кэлера являются симплектическими, в римановой геометрии, где комплексные многообразия предоставляют примеры экзотических метрических структур, таких как многообразия Калаби — Яу и гиперкэлеровы многообразия, и в теории калибровочных полей, где голоморфные векторные расслоения часто допускают решения важных дифференциальных уравнений, возникающих в физике, таких как уравнения Янга — Миллса. Комплексная геометрия также оказывает значительное влияние на чистую алгебраическую геометрию, где аналитические результаты в комплексном случае, такие как теория Ходжа для многообразий Кэлера, вдохновляют понимание структур Ходжа для многообразий и схем, а также p-адической теории Ходжа, теория деформаций для комплексных многообразий вдохновляет понимание теории деформаций схем, а результаты о когомологиях комплексных многообразий послужили основой для формулирования гипотез Вейля и стандартных гипотез Гротендика. С другой стороны, результаты и методы из многих из этих областей часто находят применение в комплексной геометрии, и, например, разработки в математике теории струн и зеркальной симметрии многое прояснили в отношении природы многообразий Калаби — Яу, которые, по прогнозам теоретиков струн, должны иметь структуру лагранжевых расслоений в соответствии с гипотезой SYZ, а развитие теории Громова — Виттена для симплектических многообразий привело к прогрессу в энумеративной геометрии комплексных многообразий. Гипотеза Ходжа, одна из задач тысячелетия, является проблемой в комплексной геометрии.

In mathematics, complex geometry is the study of geometric structures and constructions arising out of, or described by, the complex numbers. In particular, complex geometry is concerned with the study of spaces such as complex manifolds and complex algebraic varieties, functions of several complex variables, and holomorphic constructions such as holomorphic vector bundles and coherent sheaves. Application of transcendental methods to algebraic geometry falls in this category, together with more geometric aspects of complex analysis. Complex geometry sits at the intersection of algebraic geometry, differential geometry, and complex analysis, and uses tools from all three areas. Because of the blend of techniques and ideas from various areas, problems in complex geometry are often more tractable or concrete than in general. For example, the classification of complex manifolds and complex algebraic varieties through the minimal model program and the construction of moduli spaces sets the field apart from differential geometry, where the classification of possible smooth manifolds is a significantly harder problem. Additionally, the extra structure of complex geometry allows, especially in the compact setting, for global analytic results to be proven with great success, including Shing Tung Yau's proof of the Calabi conjecture, the Hitchin–Kobayashi correspondence, the nonabelian Hodge correspondence, and existence results for Kähler–Einstein metrics and constant scalar curvature Kähler metrics. These results often feed back into complex algebraic geometry, and for example recently the classification of Fano manifolds using K stability has benefited tremendously both from techniques in analysis and in pure birational geometry. Complex geometry has significant applications to theoretical physics, where it is essential in understanding conformal field theory, string theory, and mirror symmetry. It is often a source of examples in other areas of mathematics, including in representation theory where generalized flag varieties may be studied using complex geometry leading to the Borel–Weil–Bott theorem, or in symplectic geometry, where Kähler manifolds are symplectic, in Riemannian geometry where complex manifolds provide examples of exotic metric structures such as Calabi–Yau manifolds and hyperkähler manifolds, and in gauge theory, where holomorphic vector bundles often admit solutions to important differential equations arising out of physics such as the Yang–Mills equations. Complex geometry additionally is impactful in pure algebraic geometry, where analytic results in the complex setting such as Hodge theory of Kähler manifolds inspire understanding of Hodge structures for varieties and schemes as well as p adic Hodge theory, deformation theory for complex manifolds inspires understanding of the deformation theory of schemes, and results about the cohomology of complex manifolds inspired the formulation of the Weil conjectures and Grothendieck's standard conjectures. On the other hand, results and techniques from many of these fields often feed back into complex geometry, and for example developments in the mathematics of string theory and mirror symmetry have revealed much about the nature of Calabi–Yau manifolds, which string theorists predict should have the structure of Lagrangian fibrations through the SYZ conjecture, and the development of Gromov–Witten theory of symplectic manifolds has led to advances in enumerative geometry of complex varieties. The Hodge conjecture, one of the millennium prize problems, is a problem in complex geometry.

Идея

В широком смысле, комплексная геометрия имеет дело с пространствами и геометрическими объектами, которые в некотором смысле моделируются на комплексной плоскости. Особенности комплексной плоскости и комплексного анализа одной переменной, такие как внутреннее понятие ориентируемости (то есть возможность последовательно поворачиваться на 90 градусов против часовой стрелки в каждой точке комплексной плоскости) и жесткость голоморфных функций (то есть существование одной комплексной производной влечет за собой комплексную дифференцируемость всех порядков), проявляются во всех аспектах изучения комплексной геометрии. Например, каждое комплексное многообразие канонически ориентируемо, и форма теоремы Лиувиля справедлива для компактных комплексных многообразий или проективных комплексных алгебраических многообразий. Комплексная геометрия отличается по своему характеру от того, что можно назвать реальной геометрией – изучения пространств, основанных на геометрических и аналитических свойствах действительной прямой. Например, в то время как гладкие многообразия допускают разбиения единицы, то есть наборы гладких функций, которые могут быть тождественно равны единице на некотором открытом множестве и тождественно равны нулю в другом месте, комплексные многообразия не допускают таких наборов голоморфных функций. Действительно, это проявление теоремы об идентичности, типичного результата комплексного анализа одной переменной. В некотором смысле, новизна комплексной геометрии восходит к этому фундаментальному наблюдению. Верно, что каждое комплексное многообразие является, в частности, реальным гладким многообразием, поскольку комплексная плоскость, если забыть о ее комплексной структуре, изоморфна действительной плоскости. Однако комплексная геометрия обычно не рассматривается как частная область дифференциальной геометрии, изучающей гладкие многообразия. В частности, теорема ГАГА Серра утверждает, что каждое проективное аналитическое многообразие на самом деле является алгебраическим многообразием, а изучение голоморфных данных на аналитическом многообразии эквивалентно изучению алгебраических данных. Эта эквивалентность указывает на то, что комплексная геометрия в некотором смысле ближе к алгебраической геометрии, чем к дифференциальной геометрии. Другой пример, который связан с природой комплексной плоскости, заключается в том, что в комплексном анализе одной переменной сингулярности мероморфных функций легко описываются. Напротив, возможное сингулярное поведение непрерывной вещественнозначной функции гораздо сложнее охарактеризовать. В результате этого можно легко изучать сингулярные пространства в комплексной геометрии, такие как сингулярные комплексные аналитические многообразия или сингулярные комплексные алгебраические многообразия, в то время как в дифференциальной геометрии изучение сингулярных пространств часто избегают. На практике комплексная геометрия находится на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа нескольких комплексных переменных, и специалист по комплексной геометрии использует инструменты из всех трех областей для изучения комплексных пространств. Типичные направления интереса в комплексной геометрии включают классификацию комплексных пространств, изучение голоморфных объектов, связанных с ними (таких как голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки), а также тесную связь между комплексными геометрическими объектами и другими областями математики и физики.

Broadly, complex geometry is concerned with spaces and geometric objects which are modelled, in some sense, on the complex plane. Features of the complex plane and complex analysis of a single variable, such as an intrinsic notion of orientability (that is, being able to consistently rotate 90 degrees counterclockwise at every point in the complex plane), and the rigidity of holomorphic functions (that is, the existence of a single complex derivative implies complex differentiability to all orders) are seen to manifest in all forms of the study of complex geometry. As an example, every complex manifold is canonically orientable, and a form of Liouville's theorem holds on compact complex manifolds or projective complex algebraic varieties. Complex geometry is different in flavour to what might be called real geometry, the study of spaces based around the geometric and analytical properties of the real number line. For example, whereas smooth manifolds admit partitions of unity, collections of smooth functions which can be identically equal to one on some open set, and identically zero elsewhere, complex manifolds admit no such collections of holomorphic functions. Indeed, this is the manifestation of the identity theorem, a typical result in complex analysis of a single variable. In some sense, the novelty of complex geometry may be traced back to this fundamental observation. It is true that every complex manifold is in particular a real smooth manifold. This is because the complex plane is, after forgetting its complex structure, isomorphic to the real plane However, complex geometry is not typically seen as a particular sub field of differential geometry, the study of smooth manifolds. In particular, Serre's GAGA theorem says that every projective analytic variety is actually an algebraic variety, and the study of holomorphic data on an analytic variety is equivalent to the study of algebraic data. This equivalence indicates that complex geometry is in some sense closer to algebraic geometry than to differential geometry. Another example of this which links back to the nature of the complex plane is that, in complex analysis of a single variable, singularities of meromorphic functions are readily describable. In contrast, the possible singular behaviour of a continuous real valued function is much more difficult to characterise. As a result of this, one can readily study singular spaces in complex geometry, such as singular complex analytic varieties or singular complex algebraic varieties, whereas in differential geometry the study of singular spaces is often avoided. In practice, complex geometry sits in the intersection of differential geometry, algebraic geometry, and analysis in several complex variables, and a complex geometer uses tools from all three fields to study complex spaces. Typical directions of interest in complex geometry involve classification of complex spaces, the study of holomorphic objects attached to them (such as holomorphic vector bundles and coherent sheaves), and the intimate relationships between complex geometric objects and other areas of mathematics and physics.

Коллекторы Kähler

Сложные многообразия могут изучаться с точки зрения дифференциальной геометрии, снабжаясь при этом дополнительными геометрическими структурами, такими как риманова метрика или симплектическая форма. Чтобы эта дополнительная структура была релевантна для комплексной геометрии, необходимо, чтобы она была совместима с комплексной структурой в некотором подходящем смысле. Ка́лерово многообразие — это комплексное многообразие, оснащённое римановой метрикой и симплектической структурой, совместимыми с комплексной структурой. Любое комплексное подмногообразие ка́лерова многообразия является ка́леровым, и, следовательно, в частности, любое несингулярное аффинное или проективное комплексное многообразие является ка́леровым после ограничения стандартной эрмитовой метрики или метрики Фубини-Штуди соответственно. Другие важные примеры ка́леровых многообразий включают поверхности Римана, поверхности K3 и многообразия Калаби-Яу.

Штейн-манипуляторы

Теорема ГАГА Серра утверждает, что проективные комплексные аналитические многообразия на самом деле являются алгебраическими. Хотя это не строго верно для аффинных многообразий, существует класс комплексных многообразий, которые ведут себя очень похоже на аффинные комплексные алгебраические многообразия, называемые многообразиями Штейна. Многообразие является штейновским, если оно голоморфно выпукло и голоморфно разделимо (см. статью о многообразиях Штейна для точных определений). Однако можно показать, что это эквивалентно тому, чтобы быть комплексным подмногообразием для некоторого . Другой чертой сходства штейновских многообразий с аффинными комплексными алгебраическими многообразиями является то, что теоремы Картана A и B справедливы для штейновских многообразий. Примеры штейновских многообразий включают некомпактные поверхности Римана и несингулярные аффинные комплексные алгебраические многообразия.

Гиперкалерные коллекторы

Специальный класс комплексных многообразий – гиперкэлеровы многообразия, которые являются римановыми многообразиями, допускающими три различные совместимые интегрируемые почти комплексные структуры, удовлетворяющие квартионионным соотношениям. Таким образом, гиперкэлеровы многообразия являются многообразиями Калера тремя различными способами и, как следствие, обладают богатой геометрической структурой. Примеры гиперкэлеровых многообразий включают ALE-пространства, поверхности K3, пространства модулей пучков Хиггса, пространства quiver-разностей и многие другие пространства модулей, возникающие в теории калибровочных полей и теории представлений.

Коллекторы CalabiYau

Как уже упоминалось, особый класс многообразий Кэлера задается многообразиями Калаби–Яу. Они представляются многообразиями Кэлера с тривиальным каноническим расслоением. Обычно в определении многообразия Калаби–Яу также требуется компактность. В этом случае доказательство Яу гипотезы Калаби подразумевает, что многообразие допускает кэлерову метрику с исчезающей кривизной Риччи, и это можно рассматривать как эквивалентное определение Калаби–Яу. Многообразия Калаби–Яу нашли применение в теории струн и зеркальной симметрии, где они используются для моделирования дополнительных 6 измерений пространства-времени в 10-мерных моделях теории струн. Примерами многообразий Калаби–Яу служат эллиптические кривые, поверхности K3 и комплексные абелевы многообразия.

Сорты комплексные Fano

Комплексное многообразие Фано — это комплексное алгебраическое многообразие с ample антиканоническим линейным расслоением (то есть, является ample). Многообразия Фано представляют значительный интерес в комплексной алгебраической геометрии, и в частности в бирациональной геометрии, где они часто возникают в программе минимальных моделей. Фундаментальные примеры многообразий Фано даются проективным пространством , где , и гладкими гиперповерхностями степени меньше .

Торические сорта

Торические многообразия — это комплексные алгебраические многообразия размерности, содержащие открытое плотное подмножество, биголоморфное к , снабжённые действием группы , которое расширяет действие на открытом плотном подмножестве. Торическое многообразие может быть описано комбинаторно с помощью своего торического веера, и, по крайней мере, когда оно невырожденное, с помощью политопа момента. Это многоугольник в , обладающий свойством, что любую вершину можно привести к стандартному виду вершины положительного орланта посредством действия . Торическое многообразие можно получить как подходящее пространство, расслоённое над политопом. Многие построения, выполняемые над торическими многообразиями, допускают альтернативные описания в терминах комбинаторики и геометрии политопа момента или связанного с ним торического веера. Это делает торические многообразия особенно привлекательным тестовым примером для многих построений в комплексной геометрии. Примеры торических многообразий включают комплексные проективные пространства и расслоения над ними.

Методы в сложной геометрии

Из-за жёсткости голоморфных функций и комплексных многообразий, методы, обычно используемые для изучения комплексных многообразий и комплексных многообразий, отличаются от тех, которые используются в обычной дифференциальной геометрии, и ближе к методам, используемым в алгебраической геометрии. Например, в дифференциальной геометрии многие задачи решаются посредством локальных построений, которые затем глобально склеиваются с помощью разбиений единицы. Разбиения единицы не существуют в комплексной геометрии, поэтому вопрос о том, когда локальные данные можно склеить в глобальные, является более тонким. Точное условие, при котором локальные данные могут быть склеены, измеряется когомологиями пучков, а пучки и их когомологические группы являются основными инструментами. Например, известными задачами в анализе нескольких комплексных переменных, предшествовавшими введению современных определений, являются задачи Кузина, которые точно спрашивают, когда локальные мероморфные данные можно склеить для получения глобальной мероморфной функции. Эти старые задачи можно просто решить после введения пучков и когомологических групп. Особые примеры пучков, используемых в комплексной геометрии, включают голоморфные прямые пучки (и связанные с ними делители), голоморфные векторные пучки и когерентные пучки. Поскольку когомологии пучков измеряют препятствия в комплексной геометрии, одним из используемых методов является доказательство теорем об исчезновении. Примеры теорем об исчезновении в комплексной геометрии включают теорему Кодайры об исчезновении для когомологий прямых пучков на компактных кэлеровых многообразиях и теоремы Картана A и B для когомологий когерентных пучков на аффинных комплексных многообразиях. Комплексная геометрия также использует методы, возникающие из дифференциальной геометрии и анализа. Например, теорема Хирцебруха — Римана — Роха, частный случай теоремы Атия — Сингера об индексе, вычисляет голоморфную эйлерову характеристику голоморфного векторного пучка в терминах характеристических классов лежащего в основе гладкого комплексного векторного пучка.

Классификация в сложной геометрии

Одна из основных тем в комплексной геометрии — классификация. Благодаря жёсткой природе комплексных многообразий и многообразий, проблема классификации этих пространств часто оказывается разрешимой. Классификация в комплексной и алгебраической геометрии часто осуществляется посредством изучения пространств модулей, которые сами по себе являются комплексными многообразиями или многообразиями, чьи точки классифицируют другие геометрические объекты, возникающие в комплексной геометрии.

Голоморфные линейные пучки

Сложная геометрия изучает не только комплексные пространства, но и другие голоморфные объекты, связанные с ними. Классификация голоморфных прямых пучков на комплексном многообразии задается многообразием Пикара. Многообразие Пикара может быть легко описано в случае, когда является компактной поверхностью Римана рода g. А именно, в этом случае многообразие Пикара представляет собой непересекающееся объединение комплексных абелевых многообразий, каждое из которых изоморфно многообразию Якоби кривой, классифицирующему делители степени ноль с точностью до линейной эквивалентности. В дифференциально-геометрических терминах эти абелевы многообразия являются комплексными торами, комплексными многообразиями, диффеоморфными к , возможно, с одной из множества различных комплексных структур. По теореме Торелли, компактная поверхность Римана определяется своим многообразием Якоби, и это демонстрирует одну из причин, почему изучение структур на комплексных пространствах может быть полезным, поскольку оно может позволить классифицировать сами пространства.