Введение

Риманово многообразие с SU(n) голономией.

В алгебраической и дифференциальной геометрии многообразие Калаби–Яу, также известное как пространство Калаби–Яу, — это особый тип многообразия, обладающий свойствами, такими как плоскость Риччи, что находит применение в теоретической физике. В частности, в теории суперструн, дополнительные измерения пространства-времени иногда предполагаются в форме 6-мерного многообразия Калаби–Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Своё название они получили в честь , после того как он впервые предположил, что такие поверхности могут существовать, а доказал гипотезу Калаби. Многообразия Калаби–Яу — это комплексные многообразия, являющиеся обобщениями поверхностей K3 на любое число комплексных измерений (то есть любое четное число вещественных измерений). Изначально они определялись как компактные кэлеровы многообразия с исчезающим первым классом Черна и римановой метрикой с нулевой кривизной, хотя иногда используются и другие, схожие, но не эквивалентные определения.

Примеры

Фундаментальный факт заключается в том, что любое гладкое алгебраическое многообразие, погруженное в проективное пространство, является многообразием Кэлера, поскольку на проективном пространстве существует естественная метрика Фубини — Студи, которую можно ограничить до алгебраического многообразия. По определению, если ω — метрика Кэлера на алгебраическом многообразии X и канонический расслоение KX тривиально, то X является многообразием Калаби — Яу. Более того, существует единственная метрика Кэлера ω на X такая, что [ω₀] = [ω] ∈ H²(X, ℝ), факт, который был предложен Эухенио Калаби и доказан Шингом Тунгом Яу (см. гипотезу Калаби).

Алгебраические кривые CalabiYau

В одном комплексном измерении единственными компактными примерами являются торы, образующие однопараметрическое семейство. Метрика Риччи, плоская на торе, фактически является плоской, поэтому голономия тривиальна и равна группе SU(1). Одномерное многообразие Калаби-Яу — это комплексная эллиптическая кривая, и, в частности, алгебраическая.

CY тройной

В трех комплексных измерениях классификация возможных многообразий Калаби–Яу остаётся открытой проблемой, хотя Яу полагает, что существует конечное число семейств (хотя и значительно большее, чем его оценка 20-летней давности). В свою очередь, Майлз Рид предположил, что число топологических типов Calabi–Yau 3-многообразий бесконечно, и что все они могут непрерывно трансформироваться друг в друга посредством определенных мягких сингуляризаций, таких как конусообразные сингулярности, подобно тому, как это происходит с поверхностями Римана. Одним из примеров трехмерного многообразия Калаби–Яу является несингулярный квинтический тройник в CP4, представляющий собой алгебраическое многообразие, состоящее из всех нулей однородного квинтического многочлена в однородных координатах CP4. Другой пример – гладкая модель квинтики Барта–Ньето. Некоторые дискретные частные случаи квинтики, полученные при помощи различных действий Z5, также являются Calabi–Yau и привлекают большое внимание в литературе. Один из них связан с исходной квинтикой посредством зеркальной симметрии. Для любого положительного целого числа n, множество нулей однородного многочлена степени n + 2 от n + 2 переменных в однородных координатах комплексного проективного пространства CPn+1 является компактным Calabi–Yau n-многообразием. Случай n = 1 описывает эллиптическую кривую, а при n = 2 получается поверхность K3. В более общем случае многообразия/орбисферы Калаби–Яу можно найти как взвешенные полные пересечения во взвешенном проективном пространстве. Основным инструментом для поиска таких пространств является формула присоединения. Все гиперкалёровы многообразия являются многообразиями Калаби–Яу.

Созданные из алгебраических поверхностей

Используя аналогичный аргумент, как и для кривых, общее пространство канонического расслоения для алгебраической поверхности образует трёхмерное многообразие Калаби-Яу. Простой пример – над проективным пространством.

Применение в теории суперструн

Многообразия Калаби–Яу играют важную роль в теории суперструн. По сути, многообразия Калаби–Яу – это формы, удовлетворяющие требованиям к пространству для шести "невидимых" пространственных измерений теории струн, которые могут быть меньше наших текущих наблюдаемых длин, поскольку они пока не обнаружены. Популярной альтернативой, известной как большие дополнительные измерения, часто встречающейся в моделях бранного мира, является то, что многообразие Калаби–Яу велико, но мы ограничены небольшим подмножеством, на котором оно пересекает D-брану. В настоящее время исследуются дальнейшие расширения в более высокие измерения с дополнительными последствиями для общей теории относительности. В наиболее распространенных моделях суперструн предполагается, что десять гипотетических измерений в теории струн состоят из четырех известных нам измерений, несущих своего рода фибрацию с фибровым измерением равным шести. Компактификация на n-кратных многообразиях Калаби–Яу важна, поскольку она оставляет часть исходной суперсимметрии не нарушенной. Более точно, при отсутствии потоков, компактификация на 3-кратном многообразии Калаби–Яу (реальное измерение 6) оставляет не нарушенной одну четверть исходной суперсимметрии, если голономия является полной SU(3). В более общем случае, компактификация без потоков на n-многообразии с голономией SU(n) оставляет не нарушенной 21–n части исходной суперсимметрии, что соответствует 26–n сверхзарядам при компактификации сверхгравитации II типа или 25–n сверхзарядам при компактификации I типа. При включении потоков условие суперсимметрии вместо этого подразумевает, что компактифицирующее многообразие является обобщенным многообразием Калаби–Яу, понятие, введенное. Модели, использующие это, известны как компактификации с потоками. Компактификации теории F на различных 4-кратных многообразиях Калаби–Яу предоставляют физикам метод для поиска большого числа классических решений в так называемом ландшафте теории струн. С каждой "дырой" в пространстве Калаби–Яу связана группа низкоэнергетических колебательных паттернов струн. Поскольку теория струн утверждает, что наши привычные элементарные частицы соответствуют низкоэнергетическим колебаниям струн, наличие нескольких "дыр" приводит к тому, что паттерны струн распадаются на несколько групп, или семейств. Хотя следующее утверждение упрощено, оно передает логику рассуждений: если у многообразия Калаби–Яу три "дыры", то экспериментально будут наблюдаться три семейства колебательных паттернов и, следовательно, три семейства частиц. Логично, что поскольку струны колеблются во всех измерениях, форма свернутых измерений будет влиять на их колебания и, следовательно, на свойства наблюдаемых элементарных частиц. Например, Эндрю Стромингер и Эдвард Виттен показали, что массы частиц зависят от способа пересечения различных "дыр" в многообразии Калаби–Яу. Другими словами, Стромингер и Виттен обнаружили, что положения "дыр" относительно друг друга и относительно вещества пространства Калаби–Яу определенным образом влияют на массы частиц. Это справедливо для всех свойств частиц.

Алгебра Калаби-Яу

Алгебра Калаби–Яу была введена Виктором Гинзбургом для перенесения геометрии многообразия Калаби–Яу в некомутативную алгебраическую геометрию.