Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математический объект
Mathematical object
В математике, 3-сфера, глома или гиперсфера — это аналог сферы в более высоких измерениях. В четырехмерном евклидовом пространстве это множество точек, равноудаленных от фиксированной центральной точки. Подобно тому, как граница шара в трех измерениях является обычной сферой (или 2-сферой, двухмерной поверхностью), граница шара в четырех измерениях (гонгил) является 3-сферой (трехмерной "поверхностью"). Топологически, 3-сфера является примером 3-многообразия, и она также является n-сферой.
In mathematics, a 3 sphere, glome or hypersphere is a higher dimensional analogue of a sphere. In 4 dimensional Euclidean space, it is the set of points equidistant from a fixed central point. Analogous to how the boundary of a ball in three dimensions is an ordinary sphere (or 2 sphere, a two dimensional surface), the boundary of a ball in four dimensions (a gongyl) is a 3 sphere (a 3 dimensional "surface"). Topologically, a 3 sphere is an example of a 3 manifold, and it is also an n sphere.
Геометрические свойства
3-сфера естественным образом является гладким многообразием, фактически, замкнутым вложенным подмножеством R⁴. Евклидова метрика на R⁴ индуцирует метрику на 3-сфере, наделяя её структурой риманова многообразия. Как и у всех сфер, 3-сфера имеет постоянную положительную сечную кривизну, равную 1/r², где r – радиус. Большая часть интересной геометрии 3-сферы обусловлена тем фактом, что 3-сфера обладает естественной структурой группы Ли, заданной умножением кватернионов (см. раздел ниже о структуре групп). Единственные другие сферы с подобной структурой – это 0-сфера и 1-сфера (см. группа окружности). В отличие от 2-сферы, 3-сфера допускает ненулевые векторные поля (сечения своего касательного расслоения). Можно даже найти три линейно независимых и ненулевых векторных поля. Их можно выбрать как любые левоинвариантные векторные поля, образующие базис алгебры Ли 3-сферы. Это означает, что 3-сфера параллелизуема. Следовательно, касательное расслоение 3-сферы тривиально. Общее обсуждение числа линейно независимых векторных полей на n-сфере см. в статье «Векторные поля на сферах». Существует интересное действие группы окружности T на S³ , наделяющее 3-сферу структурой главного окружного расслоения, известного как расслоение Хопфа. Если рассматривать S³ как подмножество C², то действие задается следующим образом: Пространство орбит этого действия гомеоморфно 2-сфере S². Поскольку S³ не гомеоморфна S² × S¹, расслоение Хопфа нетривиально.
The 3 sphere is naturally a smooth manifold, in fact, a closed embedded submanifold of 'R'^(4). The Euclidean metric on 'R'^(4) induces a metric on the 3 sphere giving it the structure of a Riemannian manifold. As with all spheres, the 3 sphere has constant positive sectional curvature equal to where r is the radius. Much of the interesting geometry of the 3 sphere stems from the fact that the 3 sphere has a natural Lie group structure given by quaternion multiplication (see the section below on group structure). The only other spheres with such a structure are the 0 sphere and the 1 sphere (see circle group). Unlike the 2 sphere, the 3 sphere admits nonvanishing vector fields (sections of its tangent bundle). One can even find three linearly independent and nonvanishing vector fields. These may be taken to be any left invariant vector fields forming a basis for the Lie algebra of the 3 sphere. This implies that the 3 sphere is parallelizable. It follows that the tangent bundle of the 3 sphere is trivial. For a general discussion of the number of linear independent vector fields on a n sphere, see the article vector fields on spheres. There is an interesting action of the circle group 'T' on S^(3) giving the 3 sphere the structure of a principal circle bundle known as the Hopf bundle. If one thinks of S^(3) as a subset of 'C'^(2), the action is given by The orbit space of this action is homeomorphic to the two sphere S^(2). Since S^(3) is not homeomorphic to S^(2) × S^(1), the Hopf bundle is nontrivial.
Топологическая конструкция
Существует несколько известных построений трехмерной сферы. Здесь мы описываем склеивание пары трехмерных шаров и последующее одноточечное компактификация.
There are several well known constructions of the three sphere. Here we describe gluing a pair of three balls and then the one point compactification.
Склеивание
Сфера 3 может быть построена топологически путем "склеивания" границ пары 3-шаров. Граница 3-шара – это 2-сфера, и эти две 2-сферы должны быть отождествлены. То есть, представьте себе пару 3-шаров одинакового размера, затем наложите их так, чтобы их 2 сферические границы совпали, и пусть совпадающие пары точек на паре 2-сфер будут эквивалентны друг другу. По аналогии со случаем 2-сферы (см. ниже), поверхность склеивания называется экваториальной сферой. Обратите внимание, что внутренние области 3-шаров не склеиваются друг с другом. Один из способов представить четвертое измерение – это непрерывная функция, принимающая действительные значения от трехмерных координат 3-шара, возможно, рассматриваемая как "температура". Мы принимаем "температуру" равной нулю вдоль склеивающей 2-сферы и считаем один из 3-шаров "горячим", а другой – "холодным". "Горячий" 3-шар можно рассматривать как "верхнее полушарие", а "холодный" 3-шар – как "нижнее полушарие". Температура максимальна/минимальна в центрах двух 3-шаров. Эта конструкция аналогична построению 2-сферы, выполненному путем склеивания границ пары дисков. Диск – это 2-шар, а граница диска – это круг (1-сфера). Пусть пара дисков будет одинакового диаметра. Наложите их друг на друга и склейте соответствующие точки на их границах. Снова можно думать о третьем измерении как о температуре. Аналогично, мы можем "раздувать" 2-сферу, перемещая пару дисков так, чтобы они стали северным и южным полушариями.
A 3 sphere can be constructed topologically by "gluing" together the boundaries of a pair of 3 balls. The boundary of a 3 ball is a 2 sphere, and these two 2 spheres are to be identified. That is, imagine a pair of 3 balls of the same size, then superpose them so that their 2 spherical boundaries match, and let matching pairs of points on the pair of 2 spheres be identically equivalent to each other. In analogy with the case of the 2 sphere (see below), the gluing surface is called an equatorial sphere. Note that the interiors of the 3 balls are not glued to each other. One way to think of the fourth dimension is as a continuous real valued function of the 3 dimensional coordinates of the 3 ball, perhaps considered to be "temperature". We take the "temperature" to be zero along the gluing 2 sphere and let one of the 3 balls be "hot" and let the other 3 ball be "cold". The "hot" 3 ball could be thought of as the "upper hemisphere" and the "cold" 3 ball could be thought of as the "lower hemisphere". The temperature is highest/lowest at the centers of the two 3 balls. This construction is analogous to a construction of a 2 sphere, performed by gluing the boundaries of a pair of disks. A disk is a 2 ball, and the boundary of a disk is a circle (a 1 sphere). Let a pair of disks be of the same diameter. Superpose them and glue corresponding points on their boundaries. Again one may think of the third dimension as temperature. Likewise, we may inflate the 2 sphere, moving the pair of disks to become the northern and southern hemispheres.
Одноточечная уплотнение
После удаления одной точки из 2-сферы, то, что остаётся, гомеоморфно евклидовой плоскости. Аналогично, удаление одной точки из 3-сферы даёт трёхмерное пространство. Чрезвычайно полезный способ увидеть это — с помощью стереографической проекции. Сначала опишем версию для меньшей размерности. Поместите южный полюс единичной 2-сферы на плоскость xy в трёхмерном пространстве. Отобразим точку P сферы (исключая северный полюс N) на плоскость, направив P в точку пересечения прямой NP с плоскостью. Стереографическая проекция 3-сферы (снова исключая северный полюс) отображает в трёхмерное пространство тем же образом. (Обратите внимание, что поскольку стереографическая проекция конформна, сферы отображаются в сферы или в плоскости.) Другой способ представить одноточечную компактификацию — через экспоненциальное отображение. Вернёмся к представлению единичной 2-сферы, лежащей на евклидовой плоскости: рассмотрим геодезическую на плоскости, исходящую из начала координат, и отобразим её в геодезическую на 2-сфере той же длины, исходящую из южного полюса. При этом отображении все точки окружности радиуса r направляются в северный полюс. Поскольку открытый единичный диск гомеоморфен евклидовой плоскости, это снова одноточечная компактификация. Экспоненциальное отображение для 3-сферы строится аналогично; его также можно обсудить, используя тот факт, что 3-сфера является группой Ли единичных кватернионов.
After removing a single point from the 2 sphere, what remains is homeomorphic to the Euclidean plane. In the same way, removing a single point from the 3 sphere yields three dimensional space. An extremely useful way to see this is via stereographic projection. We first describe the lower dimensional version. Rest the south pole of a unit 2 sphere on the xy plane in three space. We map a point P of the sphere (minus the north pole N) to the plane by sending P to the intersection of the line NP with the plane. Stereographic projection of a 3 sphere (again removing the north pole) maps to three space in the same manner. (Notice that, since stereographic projection is conformal, round spheres are sent to round spheres or to planes.) A somewhat different way to think of the one point compactification is via the exponential map. Returning to our picture of the unit two sphere sitting on the Euclidean plane: Consider a geodesic in the plane, based at the origin, and map this to a geodesic in the two sphere of the same length, based at the south pole. Under this map all points of the circle of radius are sent to the north pole. Since the open unit disk is homeomorphic to the Euclidean plane, this is again a one point compactification. The exponential map for 3 sphere is similarly constructed; it may also be discussed using the fact that the 3 sphere is the Lie group of unit quaternions.
Системы координат на 3-й сфере
Четыре евклидовы координаты для S^(3) избыточны, поскольку они удовлетворяют условию x0^(2) + x1^(2) + x2^(2) + x3^(2) = 1. Как трехмерное многообразие, S^(3) можно параметризовать тремя координатами, подобно тому, как двумерную сферу можно параметризовать двумя координатами (например, широтой и долготой). Из-за нетривиальной топологии S^(3) невозможно найти один набор координат, покрывающий всё пространство. Как и на двумерной сфере, необходимо использовать как минимум две координатные окрестности. Ниже приведены некоторые варианты выбора координат.
The four Euclidean coordinates for S^(3) are redundant since they are subject to the condition that 1=x0^(2) + x1^(2) + x2^(2) + x3^(2) = 1. As a 3 dimensional manifold one should be able to parameterize S^(3) by three coordinates, just as one can parameterize the 2 sphere using two coordinates (such as latitude and longitude). Due to the nontrivial topology of S^(3) it is impossible to find a single set of coordinates that cover the entire space. Just as on the 2 sphere, one must use at least two coordinate charts. Some different choices of coordinates are given below.
В литературе
В книге Эдвина Эбботта Эбботта "Плоская страна", опубликованной в 1884 году, и в книге "Сферная страна", продолжении "Плоской страны" Диониса Бергера, вышедшей в 1965 году, трехмерная сфера называется надсферой, а четырехмерная – гиперсферой. Марк Питерсон, в статье для "Американского журнала физики", описывает три различных способа визуализации трехмерных сфер и отмечает, что язык "Божественной комедии" указывает на то, что Данте представлял Вселенную аналогичным образом; Карло Ровелли поддерживает эту точку зрения. В книге "Искусство встречается с математикой в четвертом измерении" Стивен Л. Липскомб развивает концепцию измерений гиперсферы в контексте искусства, архитектуры и математики.
In Edwin Abbott Abbott's Flatland, published in 1884, and in Sphereland, a 1965 sequel to Flatland by Dionys Burger, the 3 sphere is referred to as an oversphere, and a 4 sphere is referred to as a hypersphere. Writing in the American Journal of Physics, Mark A. Peterson describes three different ways of visualizing 3 spheres and points out language in The Divine Comedy that suggests Dante viewed the Universe in the same way; Carlo Rovelli supports the same idea. In Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension, Stephen L. Lipscomb develops the concept of the hypersphere dimensions as it relates to art, architecture, and mathematics.