Симплектические многообразия в дифференциальной геометрии
Symplectic manifold
Симплитические многообразия в дифференциальной геометрии: определение, свойства и применение в классической механике. Симплитическая геометрия и топология.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тип многообразия в дифференциальной геометрии
Type of manifold in differential geometry
В дифференциальной геометрии, разделе математики, симплектическое многообразие — это гладкое многообразие, оснащенное замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой, называемой симплектической формой. Изучение симплектических многообразий называется симплектической геометрией или симплектической топологией. Симплектические многообразия возникают естественным образом в абстрактных формулировках классической и аналитической механики как котангентные расслоения многообразий. Например, в гамильтоновой формулировке классической механики, которая является одной из основных мотиваций для развития этой области, множество всех возможных конфигураций системы моделируется как многообразие, а котангентное расслоение этого многообразия описывает фазовое пространство системы.
In differential geometry, a subject of mathematics, a symplectic manifold is a smooth manifold, , equipped with a closed nondegenerate differential 2 form , called the symplectic form. The study of symplectic manifolds is called symplectic geometry or symplectic topology. Symplectic manifolds arise naturally in abstract formulations of classical mechanics and analytical mechanics as the cotangent bundles of manifolds. For example, in the Hamiltonian formulation of classical mechanics, which provides one of the major motivations for the field, the set of all possible configurations of a system is modeled as a manifold, and this manifold's cotangent bundle describes the phase space of the system.
Мотивация
Симплектические многообразия возникают из классической механики; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. Точно так же, как уравнения Гамильтона позволяют вывести эволюцию системы во времени из набора дифференциальных уравнений, симплектическая форма должна позволять получить векторное поле, описывающее поток системы из дифференциала гамильтониана. Таким образом, нам требуется линейное отображение из тангенциального многообразия в котангенциальное многообразие, или, эквивалентно, элемент. Пусть обозначает сечение, требование невырожденности гарантирует, что для каждого дифференциала существует единственное соответствующее векторное поле, такое что. Поскольку гамильтониан должен быть постоянным вдоль линий потока, должно выполняться условие , что подразумевает антисимметричность и, следовательно, является 2-формой. Наконец, требуется, чтобы не менялось вдоль линий потока, то есть производная Ли вдоль исчезает. Применяя формулу Картана, это сводится к (здесь – внутреннее произведение):
Symplectic manifolds arise from classical mechanics; in particular, they are a generalization of the phase space of a closed system. In the same way the Hamilton equations allow one to derive the time evolution of a system from a set of differential equations, the symplectic form should allow one to obtain a vector field describing the flow of the system from the differential of a Hamiltonian function So we require a linear map from the tangent manifold to the cotangent manifold , or equivalently, an element of Letting denote a section of , the requirement that be non degenerate ensures that for every differential there is a unique corresponding vector field such that Since one desires the Hamiltonian to be constant along flow lines, one should have , which implies that is alternating and hence a 2 form. Finally, one makes the requirement that should not change under flow lines, i. e. that the Lie derivative of along vanishes. Applying Cartan's formula, this amounts to (here is the interior product):
Таким образом, повторяя этот аргумент для различных гладких функций, таких что соответствующие образуют касательное пространство в каждой точке, в которой применяется аргумент, мы видим, что требование исчезновения производной Ли вдоль потоков, соответствующих произвольным гладким функциям, эквивалентно требованию, чтобы ω была замкнутой.
so that, on repeating this argument for different smooth functions such that the corresponding span the tangent space at each point the argument is applied at, we see that the requirement for the vanishing Lie derivative along flows of corresponding to arbitrary smooth is equivalent to the requirement that ω should be closed.
Определение
Симплектическая форма на гладком многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма. Здесь невырожденная означает, что для каждой точки, кососимметричное спаривание на касательном пространстве, определяемое формулой , является невырожденным. То есть, если существует вектор , такой что для всех , то . Поскольку в нечетных размерностях кососимметричные матрицы всегда сингулярны, требование невырожденности подразумевает, что многообразие имеет четную размерность. Полисимплектическое многообразие — это расслоение Лежандра, снабженное полисимплектической формой, принимающей значения в касательном расслоении; оно используется в гамильтоновой теории поля.
A symplectic form on a smooth manifold is a closed non degenerate differential 2 form Here, non degenerate means that for every point , the skew symmetric pairing on the tangent space defined by is non degenerate. That is to say, if there exists an such that for all , then Since in odd dimensions, skew symmetric matrices are always singular, the requirement that be nondegenerate implies that has an even dimension. A polysymplectic manifold is a Legendre bundle provided with a polysymplectic tangent valued form; it is utilized in Hamiltonian field theory.