Введение
Матрица, сопряжённая транспозиция которой является её отрицательной (аддитивно обратной).
NOTOC
In linear algebra, a square matrix with complex entries is said to be skew Hermitian or anti Hermitian if its conjugate transpose is the negative of the original matrix. That is, the matrix is skew Hermitian if it satisfies the relation
where denotes the conjugate transpose of the matrix In component form, this means that
for all indices and , where is the element in the th row and th column of , and the overline denotes complex conjugation. Skew Hermitian matrices can be understood as the complex versions of real skew symmetric matrices, or as the matrix analogue of the purely imaginary numbers. The set of all skew Hermitian matrices forms the Lie algebra, which corresponds to the Lie group U(n). The concept can be generalized to include linear transformations of any complex vector space with a sesquilinear norm. Note that the adjoint of an operator depends on the scalar product considered on the dimensional complex or real space If denotes the scalar product on , then saying is skew adjoint means that for all one has
Imaginary numbers can be thought of as skew adjoint (since they are like matrices), whereas real numbers correspond to self adjoint operators.
В линейной алгебре квадратная матрица с комплексными элементами называется косоэрмитовой или антиэрмитовой, если её сопряжённая транспозиция равна отрицательной исходной матрице. То есть, матрица является косоэрмитовой, если она удовлетворяет соотношению
NOTOC
In linear algebra, a square matrix with complex entries is said to be skew Hermitian or anti Hermitian if its conjugate transpose is the negative of the original matrix. That is, the matrix is skew Hermitian if it satisfies the relation
where denotes the conjugate transpose of the matrix In component form, this means that
for all indices and , where is the element in the th row and th column of , and the overline denotes complex conjugation. Skew Hermitian matrices can be understood as the complex versions of real skew symmetric matrices, or as the matrix analogue of the purely imaginary numbers. The set of all skew Hermitian matrices forms the Lie algebra, which corresponds to the Lie group U(n). The concept can be generalized to include linear transformations of any complex vector space with a sesquilinear norm. Note that the adjoint of an operator depends on the scalar product considered on the dimensional complex or real space If denotes the scalar product on , then saying is skew adjoint means that for all one has
Imaginary numbers can be thought of as skew adjoint (since they are like matrices), whereas real numbers correspond to self adjoint operators.
где обозначает сопряжённую транспозицию матрицы . В компонентном виде это означает, что
NOTOC
In linear algebra, a square matrix with complex entries is said to be skew Hermitian or anti Hermitian if its conjugate transpose is the negative of the original matrix. That is, the matrix is skew Hermitian if it satisfies the relation
where denotes the conjugate transpose of the matrix In component form, this means that
for all indices and , where is the element in the th row and th column of , and the overline denotes complex conjugation. Skew Hermitian matrices can be understood as the complex versions of real skew symmetric matrices, or as the matrix analogue of the purely imaginary numbers. The set of all skew Hermitian matrices forms the Lie algebra, which corresponds to the Lie group U(n). The concept can be generalized to include linear transformations of any complex vector space with a sesquilinear norm. Note that the adjoint of an operator depends on the scalar product considered on the dimensional complex or real space If denotes the scalar product on , then saying is skew adjoint means that for all one has
Imaginary numbers can be thought of as skew adjoint (since they are like matrices), whereas real numbers correspond to self adjoint operators.
для всех индексов и , где – элемент в -й строке и -м столбце матрицы , а черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Косоэрмитовы матрицы можно понимать как комплексные аналоги вещественных кососимметричных матриц или как матричный аналог чисто мнимых чисел. Множество всех косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли, соответствующую группе Ли U(n). Понятие может быть обобщено для включения линейных преобразований любого комплексного векторного пространства с сесквилинейной нормой. Следует отметить, что сопряжённый оператор зависит от скалярного произведения, рассматриваемого в -мерном комплексном или вещественном пространстве. Если обозначает скалярное произведение на , то говорить о том, что оператор кососопряжён, означает, что для всех выполняется условие. Мнимые числа можно рассматривать как кососопряжённые (поскольку они подобны матрицам), в то время как вещественные числа соответствуют самосопряжённым операторам.
NOTOC
In linear algebra, a square matrix with complex entries is said to be skew Hermitian or anti Hermitian if its conjugate transpose is the negative of the original matrix. That is, the matrix is skew Hermitian if it satisfies the relation
where denotes the conjugate transpose of the matrix In component form, this means that
for all indices and , where is the element in the th row and th column of , and the overline denotes complex conjugation. Skew Hermitian matrices can be understood as the complex versions of real skew symmetric matrices, or as the matrix analogue of the purely imaginary numbers. The set of all skew Hermitian matrices forms the Lie algebra, which corresponds to the Lie group U(n). The concept can be generalized to include linear transformations of any complex vector space with a sesquilinear norm. Note that the adjoint of an operator depends on the scalar product considered on the dimensional complex or real space If denotes the scalar product on , then saying is skew adjoint means that for all one has
Imaginary numbers can be thought of as skew adjoint (since they are like matrices), whereas real numbers correspond to self adjoint operators.
Свойства
Собственные значения косоэрмитовой матрицы все чисто мнимые (и, возможно, равны нулю). Более того, косоэрмитовы матрицы являются нормальными. Следовательно, они диагонализуемы, и их собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, должны быть ортогональны. Все элементы на главной диагонали косоэрмитовой матрицы должны быть чисто мнимыми, то есть лежать на мнимой оси (число ноль также считается чисто мнимая). Если A и B – косоэрмитовы, то aA + bB является косоэрмитовой для всех вещественных скаляров a и b. Матрица C является косоэрмитовой тогда и только тогда, когда C* (или эквивалентно, C†) является эрмитовой. Матрица A является косоэрмитовой тогда и только тогда, когда её вещественная часть Re(A) является кососимметричной, а мнимая часть Im(A) – симметричной. Если A – косоэрмитова, то A^k является эрмитовой, если k – четное целое число, и косоэрмитовой, если k – нечетное целое число. Матрица A является косоэрмитовой тогда и только тогда, когда x*Ax = 0 для всех векторов x. Если A – косоэрмитова, то матричная экспонента exp(A) является унитарной. Пространство косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли u(n) группы Ли U(n).