Введение

Векторное пространство с топологией, заданной выпуклыми открытыми множествами. В функциональном анализе и смежных областях математики локально выпуклые топологические векторные пространства (LCTVS) или локально выпуклые пространства являются примерами топологических векторных пространств (TVS), обобщающими нормированные пространства. Их можно определить как топологические векторные пространства, топология которых порождается сдвигами сбалансированных, абсорбирующих, выпуклых множеств. Альтернативно, их можно определить как векторное пространство с семейством полунорм, и топология может быть определена на основе этого семейства. Хотя в общем случае такие пространства не обязательно допускают нормировку, существование выпуклой локальной базы в нуле достаточно для применимости теоремы Хана — Банаха, что обеспечивает достаточно развитую теорию непрерывных линейных функционалов. Пространства Фреше — это локально выпуклые пространства, которые вполне метризуемы (при выборе полной метрики). Они являются обобщением пространств Банаха, которые представляют собой полные векторные пространства относительно метрики, порожденной нормой.

История

Метризуемые топологии на векторных пространствах изучались с момента их введения в докторской диссертации Мориса Фреше 1902 года «Sur quelques points du calcul fonctionnel» (где впервые было введено понятие метрики). После того как Феликс Хаусдорф определил понятие общего топологического пространства в 1914 году, хотя локально выпуклые топологии неявно использовались некоторыми математиками, до 1934 года, по-видимому, только Джон фон Нейман явно определил слабую топологию на пространствах Гильберта и сильную операторную топологию на операторах в пространствах Гильберта. Наконец, в 1935 году фон Нейман представил общее определение локально выпуклого пространства (которое он называл выпуклым пространством). Замечательным примером результата, для полного доказательства которого потребовалось развитие и распространение общих локально выпуклых пространств (наряду с другими понятиями и результатами, такими как сети, топология произведения и теорема Тихонова), является теорема Банаха — Алаоглу, которую Стефан Банах впервые установил в 1932 году с помощью элементарного диагонального аргумента для случая сепарабельных нормированных пространств (в этом случае единичный шар двойственного пространства является метризуемым).

Определение

Предположим, что V – векторное пространство над подполем комплексных чисел (обычно само это поле или ℝ). Локально выпуклое пространство определяется либо в терминах выпуклых множеств, либо, эквивалентно, в терминах полунорм.

Семинормовая топология

Предположим, что – векторное пространство над полем , где – либо действительные, либо комплексные числа. Семейство семинорм на векторном пространстве индуцирует каноническую топологию векторного пространства на , называемую начальной топологией, индуцированной семинормами. По определению, это наименее тонкая топология на , для которой все отображения в непрерывны. Однако эта топология не наделяет пространство структурой топологического векторного пространства (TVS). Операции над векторами не являются непрерывными в этой топологии, так как все множества в топологии, индуцированной семинормами, симметричны, в то время как lcs-топология допускает большее количество множеств. Возможно, что локально выпуклая топология на пространстве индуцируется семейством норм, но при этом не является нормируемым (то есть его топология индуцируется не одной нормой).

Основание норм

Следующая теорема подразумевает, что если X — локально выпуклое пространство, то топология X может быть определена семейством непрерывных норм на X (норма является семинормой, где x ≤ y подразумевает x - y ≤ 0), если и только если существует по крайней мере одна непрерывная норма на X. Это связано с тем, что сумма нормы и семинормы является нормой, поэтому если локально выпуклое пространство определяется некоторым семейством семинорм (каждая из которых обязательно непрерывна), то семейство (также непрерывных) норм, полученных путем добавления некоторой заданной непрерывной нормы к каждому элементу, обязательно будет семейством норм, определяющим ту же локально выпуклую топологию. Если существует непрерывная норма на топологическом векторном пространстве X, то X обязательно является хаусдорфовым, но обратное неверно в общем случае (даже для локально выпуклых пространств или пространств Фреше).

Дополнительные определения

Семейство семинорм называется полным или разделенным, или говорят, что оно разделяет точки, если при выполнении условия для всех , то обязательно является . Локально выпуклое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно имеет разделенное семейство семинорм. Многие авторы принимают критерий хаусдорфовости в определении. Псевдометрика — это обобщение метрики, которое не удовлетворяет условию, что только когда . Локально выпуклое пространство является псевдометризуемым, то есть его топология порождается псевдометрикой, тогда и только тогда, когда оно имеет счетное семейство семинорм. Действительно, псевдометрика, индуцирующая ту же топологию, задается выражением (где можно заменить любой положительной суммируемой последовательностью). Эта псевдометрика инвариантна относительно сдвигов, но не однородна, то есть , и, следовательно, не определяет (псевдо)норму. Псевдометрика является настоящей метрикой тогда и только тогда, когда семейство семинорм разделено, поскольку это имеет место тогда и только тогда, когда пространство является хаусдорфовым. Если, кроме того, пространство является полным, то оно называется пространством Фреше. Как и любое топологическое векторное пространство, локально выпуклое пространство также является равномерным пространством. Таким образом, можно говорить об однородной непрерывности, однородной сходимости и последовательностях Коши. Сеть Коши в локально выпуклом пространстве — это сеть , такая что для каждой и каждой семинормы существует индекс , для которого при всех . Иными словами, сеть должна быть последовательностью Коши во всех семинормах одновременно. Определение полноты дается здесь в терминах сетей, а не более привычных последовательностей, поскольку, в отличие от пространств Фреше, которые являются метризуемыми, общие пространства могут быть определены несчетным семейством псевдометрик. Последовательности, которые по определению счетны, не могут быть достаточными для характеристики сходимости в таких пространствах. Локально выпуклое пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши сходится. Семейство семинорм становится пред-упорядоченным множеством относительно отношения , если и только если существует такое , что для всех . Говорят, что это направленное семейство семинорм, если семейство является направленным множеством, где операция присоединения — сложение, то есть для каждой и существует такое , что . Каждое семейство семинорм имеет эквивалентное направленное семейство, то есть такое, которое определяет ту же топологию. Действительно, для данного семейства , пусть — множество конечных подмножеств , а затем для каждого определим . Можно проверить, что — эквивалентное направленное семейство. Если топология пространства индуцирована одной семинормой, то пространство является семинормируемым. Любое локально выпуклое пространство с конечным семейством семинорм является семинормируемым. Более того, если пространство является хаусдорфовым (семейство разделено), то пространство является нормируемым, а норма задается суммой семинорм. В терминах открытых множеств, локально выпуклое топологическое векторное пространство является семинормируемым тогда и только тогда, когда начало координат имеет ограниченную окрестность.