Введение
Комплемент открытого подмножества – комплемент открытого множества. В геометрии, топологии и смежных областях математики, замкнутое множество – это множество, дополнение которого является открытым множеством. В топологическом пространстве, замкнутое множество может быть определено как множество, содержащее все свои предельные точки. В полном метрическом пространстве, замкнутое множество – это множество, замкнутое относительно операции взятия предела. Это не следует путать с замкнутым многообразием.
the complement of an open set
In geometry, topology, and related branches of mathematics, a closed set is a set whose complement is an open set. In a topological space, a closed set can be defined as a set which contains all its limit points. In a complete metric space, a closed set is a set which is closed under the limit operation. This should not be confused with a closed manifold.
Больше о закрытых наборах
Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств, концепция, которая имеет смысл для топологических пространств, а также для других пространств, несущих топологические структуры, таких как метрические пространства, дифференцируемые многообразия, однородные пространства и пространства с мерой. То, является ли множество замкнутым, зависит от пространства, в которое оно вложено. Однако компактные пространства Хаусдорфа являются "абсолютно замкнутыми" в том смысле, что если компактное пространство Хаусдорфа вложить в произвольное пространство Хаусдорфа, то оно всегда будет замкнутым подмножеством этого пространства; "окружающее пространство" здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна — Чеха, процесс, превращающий полностью регулярное пространство Хаусдорфа в компактное пространство Хаусдорфа, может быть описана как добавление пределов определенных расходящихся сетей к пространству. Кроме того, каждое замкнутое подмножество компактного пространства является компактным, и каждое компактное подпространство пространства Хаусдорфа замкнуто. Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для каждой коллекции непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением существует конечная подколлекция с пустым пересечением. Топологическое пространство называется несвязным, если существуют непересекающиеся, непустые, открытые подмножества, объединение которых равно всему пространству. Кроме того, пространство является абсолютно несвязным, если оно имеет открытую базу, состоящую из замкнутых множеств.