Введение
другие математические кольца, называемые алгебрами Гекке. В математике алгебра Ивахори — Гекке, или алгебра Гекке, названная в честь Эриха Гекке и Нагайоши Ивахори, является деформацией групповой алгебры группы Коксетера. Алгебры Гекке являются фактор-кольцами групповых колец групп кос Artin. Эта связь нашла впечатляющее применение в построении Воном Джонсом новых инвариантов узлов. Представления алгебр Гекке привели к открытию квантовых групп Митио Джимбо. Майкл Фридман предложил алгебры Гекке в качестве основы для топологических квантовых вычислений.
In mathematics, the Iwahori–Hecke algebra, or Hecke algebra, named for Erich Hecke and Nagayoshi Iwahori, is a deformation of the group algebra of a Coxeter group. Hecke algebras are quotients of the group rings of Artin braid groups. This connection found a spectacular application in Vaughan Jones' construction of new invariants of knots. Representations of Hecke algebras led to discovery of quantum groups by Michio Jimbo. Michael Freedman proposed Hecke algebras as a foundation for topological quantum computation.
Общие многопараметрические алгебры Гекке
HA(W,S,q) — универсальная многопараметрическая алгебра Гекке. Эта алгебра универсальна в том смысле, что любую другую многопараметрическую алгебру Гекке можно получить из нее посредством (единственного) кольцевого гомоморфизма A → R, который отображает неопределённое qs ∈ A в единицу qs ∈ R. Этот гомоморфизм делает R алгеброй над A, а скалярное расширение HA(W,S) ⊗A R канонически изоморфно алгебре Гекке HR(W,S,q), как было построено выше. Этот процесс называется специализацией универсальной алгебры.
Однопараметрические алгебры Гекке
Если каждый неопределённый qs специализировать на единственный неопределённый q над целыми числами (или q на q½ соответственно), то получается так называемая универсальная однопараметрическая алгебра Гекке для (W,S). Поскольку в группах Коксетера с одинарной связностью диаграммы Динкина (например, группы типа A и D) каждая пара коксетеровских генераторов сопряжена, вышеупомянутое ограничение, согласно которому qs = qt всякий раз, когда s и t сопряжены в W, приводит к тому, что многопараметрические и однопараметрические алгебры Гекке оказываются равными. Поэтому очень часто рассматривают только однопараметрические алгебры Гекке.
Коксетерные группы с весами
Если на W определена интегральная функция веса (то есть отображение L: W → Z, такое что L(vw) = L(v) + L(w) для всех v, w ∈ W, при условии l(vw) = l(v) + l(w)), то обычной специализацией для рассмотрения является специализация, индуцированная гомоморфизмом qs ↦ qL(s), где q – единственная переменная над Z. Если используется соглашение о полуцелых степенях, то допустима также функция веса L: W → ½Z. По техническим причинам часто бывает удобно рассматривать только неотрицательные функции веса.
Свойства
1. Алгебра Гекке имеет базис над A, индексированный элементами группы Коксетера W. В частности, H является свободным A-модулем. Если является редуцированным разложением w ∈ W, то этот базис алгебры Гекке иногда называют естественным базисом. Нейтральный элемент W соответствует единице H: Te = 1. 2. Элементы естественного базиса мультипликативны, то есть Tyw = TyTw, когда l(yw) = l(y) + l(w), где l обозначает функцию длины на группе Коксетера W.
3. Elements of the natural basis are invertible. For example, from the quadratic relation we conclude that T = q Ts + (q 1). 4. Suppose that W is a finite group and the ground ring is the field C of complex numbers. Jacques Tits has proved that if the indeterminate q is specialized to any complex number outside of an explicitly given list (consisting of roots of unity), then the resulting one parameter Hecke algebra is semisimple and isomorphic to the complex group algebra C[W] (which also corresponds to the specialization q ↦ 1)
5. More generally, if W is a finite group and the ground ring R is a field of characteristic zero, then the one parameter Hecke algebra is a semisimple associative algebra over R[q±1]. Moreover, extending earlier results of Benson and Curtis, George Lusztig provided an explicit isomorphism between the Hecke algebra and the group algebra after the extension of scalars to the quotient field of R[q±½]
3. Элементы естественного базиса обратимы. Например, из квадратичного соотношения следует, что T = qTs + (q - 1). 4. Пусть W – конечная группа, а базовое кольцо – поле C комплексных чисел. Жак Титс доказал, что если неопределённое q специализируется на любом комплексном числе, не входящем в явно заданный список (состоящий из корней из единицы), то получающаяся однопараметрическая алгебра Гекке полупроста и изоморфна комплексной групповой алгебре C[W] (что также соответствует специализации q ↦ 1).
3. Elements of the natural basis are invertible. For example, from the quadratic relation we conclude that T = q Ts + (q 1). 4. Suppose that W is a finite group and the ground ring is the field C of complex numbers. Jacques Tits has proved that if the indeterminate q is specialized to any complex number outside of an explicitly given list (consisting of roots of unity), then the resulting one parameter Hecke algebra is semisimple and isomorphic to the complex group algebra C[W] (which also corresponds to the specialization q ↦ 1)
5. More generally, if W is a finite group and the ground ring R is a field of characteristic zero, then the one parameter Hecke algebra is a semisimple associative algebra over R[q±1]. Moreover, extending earlier results of Benson and Curtis, George Lusztig provided an explicit isomorphism between the Hecke algebra and the group algebra after the extension of scalars to the quotient field of R[q±½]
5. В более общем случае, если W – конечная группа, а базовое кольцо R – поле характеристики ноль, то однопараметрическая алгебра Гекке является полупростой ассоциативной алгеброй над R[q±1]. Более того, расширяя более ранние результаты Бенсона и Кертиса, Джордж Лустиг предоставил явный изоморфизм между алгеброй Гекке и групповой алгеброй после расширения скаляров до поля частных R[q±½].
3. Elements of the natural basis are invertible. For example, from the quadratic relation we conclude that T = q Ts + (q 1). 4. Suppose that W is a finite group and the ground ring is the field C of complex numbers. Jacques Tits has proved that if the indeterminate q is specialized to any complex number outside of an explicitly given list (consisting of roots of unity), then the resulting one parameter Hecke algebra is semisimple and isomorphic to the complex group algebra C[W] (which also corresponds to the specialization q ↦ 1)
5. More generally, if W is a finite group and the ground ring R is a field of characteristic zero, then the one parameter Hecke algebra is a semisimple associative algebra over R[q±1]. Moreover, extending earlier results of Benson and Curtis, George Lusztig provided an explicit isomorphism between the Hecke algebra and the group algebra after the extension of scalars to the quotient field of R[q±½]
Алгебра Хекка локально компактной группы
Алгебры Ивахори–Хекке впервые появились как важный частный случай весьма общей конструкции в теории групп. Пусть (G, K) — пара, состоящая из унимодульной локально компактной топологической группы G и замкнутой подгруппы K в G. Тогда пространство K-биинвариантных непрерывных функций с компактным носителем, Cc(K\G/K), можно снабдить структурой ассоциативной алгебры посредством операции свертки. Эта алгебра обозначается как H(G//K) и называется кольцом Хекке для пары (G, K). Пример: если G = SL(n, Qp) и K = SL(n, Zp), то кольцо Хекке коммутативно, и его представления изучал Йен Г. Макдональд. В более общем случае, если (G, K) является парой Гельфанд, то полученная алгебра оказывается коммутативной. Пример: если G = SL(2, Q) и K = SL(2, Z), то мы получаем абстрактное кольцо, лежащее в основе операторов Хекке в теории модулярных форм, которое и дало название алгебрам Хекке в целом. Случай, приводящий к алгебре Хекке конечной группы Вейля, возникает, когда G является конечной группой Шевалье над конечным полем с pk элементами, а B — ее подгруппой Бореля. Ивахори показал, что кольцо Хекке H(G//B) получается из универсальной алгебры Хекке Hq группы Вейля W группы G путем специализации неопределенного q последней алгебры в pk, кардинальность конечного поля. Джордж Лустиг заметил в 1984 году (Characters of reductive groups over a finite field, xi, footnote):
I think it would be most appropriate to call it the Iwahori algebra, but the name Hecke ring (or algebra) given by Iwahori himself has been in use for almost 20 years and it is probably too late to change it now. Iwahori and Matsumoto (1965) considered the case when G is a group of points of a reductive algebraic group over a non archimedean local field K, such as Qp, and K is what is now called an Iwahori subgroup of G. The resulting Hecke ring is isomorphic to the Hecke algebra of the affine Weyl group of G, or the affine Hecke algebra, where the indeterminate q has been specialized to the cardinality of the residue field of K.
Work of Roger Howe in the 1970s and his papers with Allen Moy on representations of p adic GL(n) opened a possibility of classifying irreducible admissible representations of reductive groups over local fields in terms of appropriately constructed Hecke algebras. (Important contributions were also made by Joseph Bernstein and Andrey Zelevinsky.) These ideas were taken much further in Colin Bushnell and Philip Kutzko's theory of types, allowing them to complete the classification in the general linear case. Many of the techniques can be extended to other reductive groups, which remains an area of active research. It has been conjectured that all Hecke algebras that are ever needed are mild generalizations of affine Hecke algebras.
Я думаю, что было бы уместнее назвать это алгеброй Ивахори, но название кольца (или алгебры) Хекке, данное самим Ивахори, используется уже почти 20 лет, и, вероятно, слишком поздно менять его сейчас. Ивахори и Мацумото (1965) рассмотрели случай, когда G — группа точек редуктивной алгебраической группы над неархимедовым локальным полем K, таким как Qp, а K — то, что теперь называется подгруппой Ивахори в G. Полученное кольцо Хекке изоморфно алгебре Хекке аффинной группы Вейля G, или аффинной алгебре Хекке, где неопределенный q специализируется на кардинальности поля вычетов K. Работы Роджера Хоу в 1970-х годах и его работы с Алленом Моем по представлениям p-адического GL(n) открыли возможность классификации неприводимых допустимых представлений редуктивных групп над локальными полями в терминах соответствующим образом построенных алгебр Хекке. (Важный вклад также внесли Джозеф Бернштейн и Андрей Зелевинский.) Эти идеи были значительно развиты в теории типов Колина Бушнелла и Филипа Куцко, что позволило им завершить классификацию в общем линейном случае. Многие из этих методов можно распространить на другие редуктивные группы, что остается областью активных исследований. Предполагается, что все необходимые алгебры Хекке являются умеренными обобщениями аффинных алгебр Хекке.
I think it would be most appropriate to call it the Iwahori algebra, but the name Hecke ring (or algebra) given by Iwahori himself has been in use for almost 20 years and it is probably too late to change it now. Iwahori and Matsumoto (1965) considered the case when G is a group of points of a reductive algebraic group over a non archimedean local field K, such as Qp, and K is what is now called an Iwahori subgroup of G. The resulting Hecke ring is isomorphic to the Hecke algebra of the affine Weyl group of G, or the affine Hecke algebra, where the indeterminate q has been specialized to the cardinality of the residue field of K.
Work of Roger Howe in the 1970s and his papers with Allen Moy on representations of p adic GL(n) opened a possibility of classifying irreducible admissible representations of reductive groups over local fields in terms of appropriately constructed Hecke algebras. (Important contributions were also made by Joseph Bernstein and Andrey Zelevinsky.) These ideas were taken much further in Colin Bushnell and Philip Kutzko's theory of types, allowing them to complete the classification in the general linear case. Many of the techniques can be extended to other reductive groups, which remains an area of active research. It has been conjectured that all Hecke algebras that are ever needed are mild generalizations of affine Hecke algebras.
Представления алгебр Гекке
Из работы Ивахори следует, что комплексные представления алгебр Гекке конечного типа тесно связаны со структурой представлений сферического главного ряда конечных групп Шевалье. Джордж Лустиг значительно углубил эту связь и смог описать большинство характеров конечных групп типа Ли в терминах теории представлений алгебр Гекке. Эта работа, основанная на сочетании геометрических методов и различных приведениях, привела к введению множества объектов, обобщающих алгебры Гекке, и к детальному изучению их представлений (при q, не являющемся корнем из единицы). Модулярные представления алгебр Гекке и представления в корнях из единицы оказались связаны с теорией канонических базисов в аффинных квантовых группах и комбинаторикой. Теория представлений аффинных алгебр Гекке была разработана Лустигом с целью применения ее к описанию представлений p-адических групп. Она во многом отличается от конечного случая. Обобщение аффинной алгебры Гекке, называемое двойной аффинной алгеброй Гекке, было использовано Иваном Чередником в доказательстве гипотезы о постоянном члене Макдональда.