Введение

Набор карт, описывающих многообразие.

В математике, особенно в топологии, атлас — это понятие, используемое для описания многообразия. Атлас состоит из отдельных карт, которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. В целом, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных структур, таких как векторные расслоения и другие волокнистые расслоения.

Чарты

Определение атласа зависит от понятия диаграммы. Диаграмма для топологического пространства M (также называемая координатной диаграммой, координатным патчем, координатной картой или локальным базисом) является гомеоморфизмом из открытого подмножества U пространства M в открытое подмножество евклидова пространства. Традиционно диаграмма записывается как упорядоченная пара .

Больше структуры

Часто требуется больше структуры на многообразии, чем просто топологическая структура. Например, если необходимо однозначное понятие дифференцирования функций на многообразии, то нужно построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы. Такое многообразие называется дифференцируемым. Для дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов, а затем и направленных производных. Если каждая функция перехода является гладким отображением, то атлас называется гладким атласом, а само многообразие – гладким. В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы функции перехода имели только k непрерывных производных, в этом случае атлас называется атласом класса C<sup>k</sup>. В общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется атласом, соответствующим этой псевдогруппе. Если функции перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию, то атлас определяет структуру расслоения.