Введение
Пространство, в котором нет сквозных отверстий. В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным, или 1-просто связным), если оно связно по путям и любой путь между двумя точками может быть непрерывно деформирован в любой другой такой путь, фиксируя при этом эти две конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, не имеющему разрывных частей и сквозных отверстий, поскольку два пути, огибающие разные стороны такого отверстия, нельзя непрерывно преобразовать друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором того, насколько пространство лишено односвязности: связное по путям топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.
In topology, a topological space is called simply connected (or 1 connected, or 1 simply connected) if it is path connected and every path between two points can be continuously transformed into any other such path while preserving the two endpoints in question. Intuitively, this corresponds to a space that has no disjoint parts and no holes that go completely through it, because two paths going around different sides of such a hole cannot be continuously transformed into each other. The fundamental group of a topological space is an indicator of the failure for the space to be simply connected: a path connected topological space is simply connected if and only if its fundamental group is trivial.
Определение и эквивалентные формулировки
Топологическое пространство называется просто связным, если оно пути-связно и любую петлю в нём, заданную функцией , можно непрерывно стянуть в точку: существует непрерывная карта , такая что ограничение на является тождественным отображением. Здесь и обозначают единичную окружность и замкнутый единичный диск в евклидовой плоскости соответственно. Эквивалентная формулировка следующая: пространство просто связно тогда и только тогда, когда оно пути-связно, и всякий раз, когда и — два пути (то есть непрерывные отображения) с одной и той же начальной и конечной точкой ( и ), то можно непрерывно деформировать в , фиксируя обе конечные точки. Явно, существует гомотопия , такая что и .
Топологическое пространство просто связно тогда и только тогда, когда оно пути-связно и фундаментальная группа в каждой его точке тривиальна, то есть состоит только из единичного элемента. Аналогично, пространство просто связно тогда и только тогда, когда для всех точек множество морфизмов в фундаментальном группоиде содержит только один элемент. В комплексном анализе: открытое подмножество просто связно тогда и только тогда, когда и его дополнение в сфере Римана связаны. Множество комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы представляет собой пример неограниченного, связного, открытого подмножества плоскости, дополнение которого не связано. Тем не менее, оно просто связно. Ослабление требования связности приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение тогда и только тогда, когда каждая из его связных компонент просто связна.
Неформальная дискуссия
Неформально, объект в нашем пространстве называется просто связным, если он состоит из одной части и не имеет сквозных "дыр". Например, ни пончик, ни кофейная чашка с ручкой не являются просто связными, но полый резиновый шар – является. В двух измерениях круг не является просто связным, а диск и линия – являются. Пространства, которые связны, но не просто связны, называются не просто связными или многосвязными. Определение исключает только "ручки". Сфера (или, эквивалентно, резиновый шар с полой серединой) является просто связной, поскольку любая петля на поверхности сферы может быть стянута в точку, даже несмотря на наличие "дыры" в полой середине. Более строгое условие, заключающееся в отсутствии отверстий любого измерения, называется стягиваемостью.