Введение

Многообразие или алгебраическое многообразие размерности n в пространстве размерности n+1.
В геометрии гиперповерхность является обобщением понятий гиперплоскости, плоской кривой и поверхности. Гиперповерхность – это многообразие или алгебраическое многообразие размерности n − 1, которое вложено в окружающее пространство размерности n, обычно евклидово пространство, аффинное пространство или проективное пространство. Гиперповерхности, как и поверхности в трехмерном пространстве, обладают свойством определяться одним неявным уравнением, по крайней мере локально (в окрестности каждой точки), а иногда и глобально. Гиперповерхность в пространстве (евклидовом, аффинном или проективном) размерности два является плоской кривой. В пространстве размерности три это поверхность. Например, уравнение определяет алгебраическую гиперповерхность размерности n − 1 в евклидовом пространстве размерности n. Эта гиперповерхность также является гладким многообразием и называется гиперсферой или (n – 1)-сферой.

Гладкая гиперповерхность

Гиперповерхность, являющаяся гладным многообразием, называется гладкой гиперповерхностью. В Rⁿ гладкая гиперповерхность ориентируема. Каждая связная компактная гладкая гиперповерхность является поверхностью уровня и разделяет Rⁿ на две связные компоненты; это связано с теоремой о разделении Джордана — Брауэра.

Свойства

Гиперповерхности обладают некоторыми специфическими свойствами, которых нет у других алгебраических многообразий. Одним из основных таких свойств является теорема Гильберта о нулях, утверждающая, что гиперповерхность содержит данное алгебраическое множество тогда и только тогда, когда определяющий полином гиперповерхности в некоторой степени принадлежит идеалу, порожденному определяющими полиномами алгебраического множества. Следствием этой теоремы является то, что если два неприводимых полинома (или, в более общем случае, два полинома без квадратных множителей) определяют одну и ту же гиперповерхность, то один из них является произведением другого на ненулевую константу. Гиперповерхности – это точно подмногообразия размерности n – 1 аффинного пространства размерности n. Это геометрическая интерпретация факта, что в полиномиальном кольце над полем высота идеала равна 1 тогда и только тогда, когда идеал является главным идеалом. В случае, когда гиперповерхность может быть приводимой, этот результат можно переформулировать следующим образом: гиперповерхности – это именно алгебраические множества, все неприводимые компоненты которых имеют размерность n – 1.

Проективная алгебраическая гиперповерхность

Проективная (алгебраическая) гиперповерхность размерности n – 1 в проективном пространстве размерности n над полем k определяется однородным полиномом от n + 1 неопределенных. Как обычно, однородный полином означает, что все мономы P имеют одинаковую степень, или, эквивалентно, для каждой константы c, где d – степень полинома. Точки гиперповерхности – это точки проективного пространства, чьи проективные координаты являются нулями P.

Если выбрать гиперплоскость уравнения как гиперплоскость в бесконечности, то дополнение этой гиперплоскости является аффинным пространством, а точки проективной гиперповерхности, принадлежащие этому аффинному пространству, образуют аффинную гиперповерхность уравнения. Напротив, заданная аффинная гиперповерхность уравнения определяет проективную гиперповерхность, называемую ее проективным завершением, уравнение которой получается путем гомогенизации p. То есть уравнение проективного завершения имеет вид, где d – степень P.

Эти два процесса – проективное завершение и ограничение аффинным подпространством – обратны друг другу. Поэтому аффинная гиперповерхность и ее проективное завершение имеют по существу одинаковые свойства и часто рассматриваются как две точки зрения на одну и ту же гиперповерхность. Однако может случиться так, что аффинная гиперповерхность не является сингулярной, в то время как ее проективное завершение имеет сингулярные точки. В этом случае говорят, что аффинная поверхность имеет сингулярность в бесконечности. Например, круговой цилиндр уравнения в аффинном пространстве размерности три имеет единственную сингулярную точку, которая находится в бесконечности, в направлении 1=x = 0, y = 0.