Введение

Концепция в математике

В математике проблема сингулярного возмущения — это проблема, содержащая малый параметр, который нельзя аппроксимировать, приравняв значение параметра к нулю. Более точно, решение нельзя равномерно аппроксимировать асимптотическим разложением вида

где ε — малый параметр проблемы, а — последовательность функций от ε возрастающего порядка, например. Это отличается от регулярных проблем возмущения, для которых можно получить равномерную аппроксимацию в такой форме. Сингулярно возмущенные проблемы обычно характеризуются динамикой, действующей на нескольких масштабах. Ниже описаны несколько классов сингулярных возмущений. Термин "сингулярное возмущение" был введен в 1940-х годах Куртом Отто Фридрихсом и Вольфгангом Р. Васовым.

Методы анализа

Проблема, решение которой может быть приближенно найдено на всей области определения – будь то пространство или время – с помощью единственного асимптотического разложения, является регулярно возмущенной. Чаще всего на практике приемлемое приближение для регулярно возмущенной проблемы получается простой заменой малого параметра нулем во всей постановке задачи. Это соответствует учету только первого члена разложения, что дает приближение, которое, возможно, медленно, но сходится к истинному решению при уменьшении параметра. Решение сингулярно возмущенной проблемы нельзя приблизить таким образом: как показывают примеры ниже, сингулярное возмущение обычно возникает, когда малый параметр умножает старший оператор в задаче. Таким образом, наивная замена параметра на ноль меняет саму суть проблемы. В случае дифференциальных уравнений невозможно удовлетворить граничные условия, а в случае алгебраических уравнений уменьшается возможное число решений. Теория сингулярных возмущений – это богатая и активно развивающаяся область исследований для математиков, физиков и других ученых. Существует множество методов для решения задач в этой области. К наиболее базовым относятся метод сопоставленных асимптотических разложений и аппроксимация ВКБ для пространственных задач, а также метод Пуанкаре — Линдштедта, метод множественных масштабов и периодическое усреднение для задач по времени. Численные методы решения сингулярно возмущенных задач также широко используются. Примеры книг о сингулярных возмущениях в обыкновенных и частных дифференциальных уравнениях: Холмс, «Введение в методы возмущений», Хинч, «Методы возмущений» или Бендер и Орсаг, «Высшие математические методы для ученых и инженеров».

Примеры сингулярных возмутительных задач

Каждый из примеров, описанных ниже, демонстрирует, почему наивный анализ возмущений, основанный на предположении о регулярности, а не о сингулярности проблемы, дает неверные результаты. В некоторых примерах показано, как эту проблему можно решить с помощью более сложных сингулярных методов.

Исчезающие коэффициенты в обычных дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр, умножающий член наивысшего порядка, как правило, демонстрируют наличие пограничных слоев, в результате чего решение изменяется в двух различных масштабах. Например, рассмотрим задачу с граничными условиями

Ее решение при изображено на графике сплошной линией ниже. Обратите внимание, что решение быстро меняется вблизи начала координат. Если мы упрощенно положим , мы получим решение, обозначенное как "внешнее" ниже, которое не описывает пограничный слой, для которого x близко к нулю. Более подробную информацию о том, как получить равномерно корректное приближение, можно найти в методе сопоставленных асимптотических разложений.

Примеры в космосе

В механике жидкостей свойства слабовязкой жидкости существенно различаются за пределами и внутри узкого пограничного слоя. Таким образом, жидкость демонстрирует множество пространственных масштабов. Реакционно-диффузионные системы, в которых один реагент диффундирует значительно медленнее, чем другой, могут формировать пространственные узоры, характеризующиеся областями присутствия реагента и областями его отсутствия, с резкими переходами между ними. В экологии, модели «хищник-жертва», такие как, где – жертва, а – хищник, показали способность к формированию подобных узоров.