Введение

В математике, кубическая поверхность — это поверхность в трёхмерном пространстве, определяемая одним полиномиальным уравнением третьей степени. Кубические поверхности являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии. Теория упрощается при работе в проективном пространстве, а не в аффинном, поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном 3-пространстве. Теория также становится более единообразной, если рассматривать поверхности над комплексными числами, а не над действительными; следует отметить, что комплексная поверхность имеет действительное измерение 4. Простым примером является кубическая поверхность Ферма.

Многие свойства кубических поверхностей применимы в более общем виде к поверхностям дель Пеццо.

Рациональность кубических поверхностей

Центральной особенностью гладких кубических поверхностей X над алгебраически замкнутым полем является то, что все они рациональны, как показал Альфред Клебш в 1866 году. То есть, существует взаимно однозначное соответствие, заданное рациональными функциями, между проективной плоскостью, из которой исключено подмножество меньшей размерности, и X, из которой исключено подмножество меньшей размерности. В более общем случае, любая неприводимая кубическая поверхность (возможно, с особенностями) над алгебраически замкнутым полем рациональна, если она не является проективным конусом над кубической кривой. В этом отношении кубические поверхности значительно проще, чем гладкие поверхности степени не менее 4 в , которые никогда не являются рациональными. В характеристике ноль гладкие поверхности степени не менее 4 в даже не являются унирульными. Более строго, Клебш показал, что каждая гладкая кубическая поверхность в над алгебраически замкнутым полем изоморфна взрыву в 6 точках. Как следствие, каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами диффеоморфна связной сумме , где знак минус указывает на изменение ориентации. Обратно, взрыв в 6 точках изоморфен кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, то есть никакие три точки не лежат на одной прямой и все 6 не лежат на коническом сечении. Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие), поверхность зависит от расположения этих 6 точек.

27 линий на кубической поверхности

Большинство доказательств рациональности кубических поверхностей начинаются с нахождения линии на поверхности. (В контексте проективной геометрии, прямая в изоморфна .) Более точно, Артур Кейли и Джордж Салмон показали в 1849 году, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем содержит ровно 27 линий. Это отличительная особенность кубик: гладкая квадратичная (степени 2) поверхность покрыта непрерывным семейством линий, в то время как большинство поверхностей степени не менее 4 в не содержат линий. Другой полезный метод для нахождения 27 линий включает в себя вычисления Шуберта, которое определяет количество линий, используя теорию пересечений грассманиана линий на . По мере изменения коэффициентов гладкой комплексной кубической поверхности, 27 линий перемещаются непрерывно. В результате, замкнутый цикл в семействе гладких кубических поверхностей определяет перестановку 27 линий. Группа перестановок 27 линий, возникающих таким образом, называется группой монодромии семейства кубических поверхностей. Замечательным открытием XIX века было то, что группа монодромии не является ни тривиальной, ни всей симметрической группой ; это группа порядка 51840, действующая транзитивно на множестве линий. Этот граф был проанализирован в XIX веке с использованием подграфов, таких как конфигурация двойного шестиугольника Шлефли. Дополнительный граф (с ребром, когда две линии не пересекаются) известен как граф Шлефли. Многие задачи, связанные с кубическими поверхностями, можно решить, используя комбинаторику корневой системы. Например, 27 линий можно отождествить с весами фундаментального представления группы Ли. Возможные множества сингулярностей, которые могут возникать на кубической поверхности, можно описать в терминах подсистем корневой системы. Одно из объяснений этой связи заключается в том, что решетка возникает как ортогональное дополнение к антиканоническому классу в группе Пикара , с ее формой пересечения (вытекающей из теории пересечений кривых на поверхности). Для гладкой комплексной кубической поверхности решетку Пикара также можно отождествить с группой когомологий . Точка Экарда — это точка, в которой пересекаются 3 из 27 линий. Большинство кубических поверхностей не имеют точек Экарда, но такие точки встречаются на подмножестве коразмерности 1 семейства всех гладких кубических поверхностей. При заданной идентификации между кубической поверхностью на X и взрывом в 6 точках в общем положении, 27 линий на X можно рассматривать как: 6 исключительных кривых, созданных взрывом, бирациональные преобразования 15 линий, проходящих через пары из 6 точек в , и бирациональные преобразования 6 коник, содержащих все, кроме одной из 6 точек. Кубическую поверхность можно рассматривать как взрыв более чем одним способом (на самом деле, 72 различными способами), и поэтому описание как взрыв не раскрывает симметрию между всеми 27 линиями. Связь между кубическими поверхностями и корневой системой обобщается на связь между всеми поверхностями дель Пеццо и корневыми системами. Это одна из многих классификаций ADE в математике. Продолжая эти аналогии, Вера Серганова и Алексей Скоробогатов дали прямое геометрическое соотношение между кубическими поверхностями и группой Ли. В физике 27 линий можно отождествить с 27 возможными зарядами M-теории на шестимерном торе (6 импульсов; 15 мембран; 6 пятибран), и группа E6 затем естественным образом действует как группа U-дуальности. Это соответствие между поверхностями дель Пеццо и M-теорией на торах известно как таинственная двойственность.

Реальные кубические поверхности

В отличие от сложного случая, пространство гладких кубических поверхностей над действительными числами не связно в классической топологии (основанной на топологии R). Его связные компоненты (иными словами, классификация гладких действительных кубических поверхностей с точностью до изотопии) были определены Людвигом Шлефли (1863), Феликсом Клейном (1865) и Г. Г. Зейтеном (1875). А именно, существует 5 классов изотопии гладких действительных кубических поверхностей X в , различающихся топологией пространства действительных точек. Пространство действительных точек диффеоморфно либо к , либо к непересекаемому объединению и 2-сферы, где обозначает связную сумму r копий действительной проективной плоскости. Соответственно, число действительных прямых, содержащихся в X, равно 27, 15, 7, 3 или 3. Гладкая действительная кубическая поверхность рациональна над R тогда и только тогда, когда пространство ее действительных точек связно, следовательно, в первых четырех из предыдущих пяти случаев. Среднее число действительных прямых на X равно , когда определяющий полином для X выбирается случайным образом из гауссовского ансамбля, индуцированного внутренним произведением Бомбиери.

Пространство модулей кубических поверхностей

Две гладкие кубические поверхности изоморфны как алгебраические многообразия тогда и только тогда, когда они эквивалентны посредством некоторого линейного автоморфизма. Геометрическая инвариантная теория предоставляет модульное пространство кубических поверхностей, с одной точкой для каждого класса изоморфизма гладких кубических поверхностей. Размерность этого модульного пространства равна 4. Более точно, это открытое подмножество взвешенного проективного пространства P(1,2,3,4,5), согласно Салмону и Клебшу (1860). В частности, это рациональное 4-мерное многообразие.

Конус из кривых

Линии на кубической поверхности X над алгебраически замкнутым полем могут быть описаны внутренним образом, без обращения к вложению X в : они являются как раз (−1)-кривыми на X, то есть кривыми, изоморфными кривой, имеющей самопересечение −1. Также, классы прямых в решетке Пикара X (или, эквивалентно, в группе классов делителей) являются как раз элементами u из Pic(X), такими что и (Это использует тот факт, что ограничение линейного расслоения гиперплоскости O(1) на X является антиканоническим линейным расслоением , согласно формуле присоединения.) Для любой проективной разновидности X конус кривых означает выпуклый конус, порожденный всеми кривыми на X (в реальном векторном пространстве 1-циклов по модулю численной эквивалентности, или в группе гомологий, если базовым полем являются комплексные числа). Для кубической поверхности конус кривых порождается 27 прямыми. В частности, это рациональный многогранный конус в с большой группой симметрии, группой Вейля. Существует аналогичное описание конуса кривых для любой поверхности дель Пеццо.

Кубические поверхности полей

Гладкая кубическая поверхность X над полем k, которое не является алгебраически замкнутым, не обязана быть рациональной над k. В качестве крайнего случая существуют гладкие кубические поверхности над рациональными числами Q (или p-адическими числами) без рациональных точек, в этом случае X, безусловно, не является рациональной. Если X(k) не пусто, то X является хотя бы унирациональной над k, согласно результатам Беньямино Сегре и Яноша Коллара. Для бесконечного k, унирациональность влечет за собой, что множество k-рациональных точек является плотным по Зариски в X. Абсолютная группа Галуа поля k переставляет 27 прямых на X над алгебраическим замыканием k (через некоторую подгруппу группы Вейля). Если какая-либо орбита этого действия состоит из непересекающихся прямых, то X является взрывом "более простой" поверхности дель Пеццо над k в замкнутой точке. В противном случае, X имеет пикардовский номер 1. (Группа Пикара X является подгруппой геометрической группы Пикара.) В последнем случае Сегре показал, что X никогда не является рациональной. Более строго, Юрий Манин доказал утверждение о бирациональной жесткости: две гладкие кубические поверхности с пикардовским числом 1 над совершенным полем k бирациональны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Например, эти результаты дают множество кубических поверхностей над Q, которые являются унирациональными, но не рациональными.

Одиночные кубические поверхности

В отличие от гладких кубических поверхностей, содержащих 27 прямых, сингулярные кубические поверхности содержат меньше прямых. Более того, их можно классифицировать по типу сингулярности, возникающей в их нормальном виде. Эти сингулярности классифицируются с использованием диаграмм Динкина.

Линии на единичных кубических поверхностях

В соответствии с классификацией особых кубических поверхностей, в следующей таблице показано количество линий, содержащихся на каждой поверхности. +Линии на особых кубических поверхностяхОсобенностьКол-во линий21161112789455215731063631