Введение

Соединяет группы гомологий и когомологий для ориентированных замкнутых многообразий. В математике теорема Пуанкаре о двойственности, названная в честь Анри Пуанкаре, является фундаментальным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразий. Она утверждает, что если M — ориентированное замкнутое n-мерное многообразие (компактное и без границы), то k-я группа когомологий M изоморфна (n − k)-й группе гомологий M для всех целых чисел k.

Двойственность Пуанкаре справедлива для любого кольца коэффициентов, при условии, что ориентация задана относительно этого кольца коэффициентов; в частности, поскольку каждое многообразие имеет единственную ориентацию по модулю 2, двойственность Пуанкаре справедлива по модулю 2 без каких-либо предположений об ориентации.

История

Форма дуальности Пуанкаре была впервые сформулирована, без доказательства, Анри Пуанкаре в 1893 году. Она была сформулирована в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (то есть компактного и без границы) ориентируемого n-многообразия равны. Концепция когомологии в то время была ещё примерно на 40 лет от своего окончательного определения. В своей статье 1895 года «Анализ Situs» Пуанкаре попытался доказать теорему, используя топологическую теорию пересечений, которую он и изобрел. Критика его работы Полем Хигаардом привела его к осознанию того, что его доказательство содержало серьёзные ошибки. В первых двух дополнениях к «Анализ Situs» Пуанкаре представил новое доказательство, основанное на двойственных триангуляциях. Дуальность Пуанкаре приобрела свой современный вид только с развитием когомологии в 1930-х годах, когда Эдуард Чех и Хасслер Уитни изобрели операции чашки и крышки и сформулировали дуальность Пуанкаре в этих новых терминах.

Двухклеточные структуры

При заданном триангулированном многообразии существует соответствующее двойное полиэдральное разбиение. Двойное полиэдральное разбиение – это клеточное разбиение многообразия, такое что k-клетки двойного полиэдрального разбиения находятся в биективном соответствии с k-клетками триангуляции, обобщая понятие двойных полиэдров. Точнее, пусть T – триангуляция n-многообразия M. Пусть S – симплекс из T. Пусть – верхнемерный симплекс из T, содержащий S, поэтому мы можем рассматривать S как подмножество вершин . Определим двойную клетку DS, соответствующую S, так, что DS является выпуклой оболочкой в барицентров всех подмножеств вершин , содержащих S. Можно проверить, что если S является i-мерным, то DS является (n − i)-мерной клеткой. Более того, двойные клетки к T образуют CW-разложение M, и единственная n-мерная двойная клетка, пересекающая i-клетку S, – это DS. Таким образом, соответствие, заданное пересечениями, индуцирует изоморфизм , где – клеточная гомология триангуляции T, а и – клеточные гомологии и когомологии двойного полиэдрального/CW-разложения многообразия соответственно. Тот факт, что это изоморфизм цепных комплексов, является доказательством дуальности Пуанкаре. Грубо говоря, это сводится к тому, что граничное соотношение для триангуляции T является отношением инцидентности для двойного полиэдрального разбиения при заданном соответствии.

Применение к характеристикам Эйлера

Непосредственным следствием дуальности Пуанкаре является то, что любое замкнутое нечетномерное многообразие M имеет характеристику Эйлера, равную нулю, что, в свою очередь, означает, что любое многообразие с границей имеет четную характеристику Эйлера.

Обобщения и связанные с ними результаты

Теорема дуальности Пуанкаре — Лефшеца является обобщением для многообразий с границей. В неориентируемом случае, учитывая пучок локальных ориентаций, можно сформулировать утверждение, не зависящее от ориентации: см. скрученную дуальность Пуанкаре. Двойственность Бланчфилда — это версия дуальности Пуанкаре, предоставляющая изоморфизм между гомологией абелева накрытия многообразия и соответствующей кокогомологией с компактными носителями. Она используется для получения основных структурных результатов о модуле Александра и может быть использована для определения сигнатур узла. С развитием теории гомологий, включающей K-теорию и другие экстраординарные теории, начиная примерно с 1955 года, стало ясно, что гомологию можно заменить другими теориями, как только произведения на многообразиях будут построены; и теперь существуют учебные пособия, рассматривающие этот вопрос в общем виде. В частности, существует общая теорема дуальности Пуанкаре для обобщенной теории гомологий, которая требует понятия ориентации относительно теории гомологий и формулируется в терминах обобщенной теоремы изоморфизма Тома. Теорему изоморфизма Тома в этом отношении можно рассматривать как исходную идею дуальности Пуанкаре для обобщенных теорий гомологий. Двойственность Вердье является подходящим обобщением для (возможно, особых) геометрических объектов, таких как аналитические пространства или схемы, в то время как пересечение гомологий было разработано Робертом Макферсоном и Марком Гореским для стратифицированных пространств, таких как вещественные или комплексные алгебраические многообразия, специально для обобщения дуальности Пуанкаре на такие стратифицированные пространства. В алгебраической топологии существует множество других форм геометрической двойственности, включая двойственность Лефшеца, двойственность Александра, двойственность Ходжа и S-двойственность. В более алгебраическом плане можно абстрагировать понятие комплекса Пуанкаре, который является алгебраическим объектом, ведущим себя как сингулярный цепной комплекс многообразия, в частности, удовлетворяющим дуальности Пуанкаре на своих группах гомологий относительно выделенного элемента (соответствующего фундаментальному классу). Они используются в теории хирургий для алгебраизации вопросов о многообразиях. Пространство Пуанкаре — это пространство, чей сингулярный цепной комплекс является комплексом Пуанкаре. Не все они являются многообразиями, но меру их не являния многообразиями можно оценить с помощью теории обструкций.