Локально компактные топологические пространства

Введение

Тип топологического пространства в математике. В топологии и смежных областях математики топологическое пространство называется локально компактным, если, грубо говоря, каждая его небольшая окрестность подобна небольшой окрестности компактного пространства. Более точно, это топологическое пространство, в котором для каждой точки существует компактная окрестность. В математическом анализе особый интерес представляют локально компактные пространства, являющиеся хаусдорфовыми; они обозначаются как пространства LCH.

Локально компактные пространства Хаусдорфа, которые не компактны

Евклидовы пространства Rn (и в частности, вещественная прямая R) локально компактны как следствие теоремы Хайне — Бореля. Топологические многообразия обладают локальными свойствами, общими для евклидовых пространств, и поэтому также являются локально компактными. Это относится даже к непаракомпактным многообразиям, таким как длинная линия. Все дискретные пространства локально компактны и хаусдорфовы (они представляют собой просто многообразия нулевой размерности). Они компактны лишь в случае, если конечны. Все открытые или замкнутые подмножества локально компактного хаусдорфова пространства локально компактны в индуцированной топологии. Это дает несколько примеров локально компактных подмножеств евклидовых пространств, например, единичный диск (как открытый, так и замкнутый). Пространство p-адических чисел Qp локально компактно, поскольку оно гомеоморфно множеству Кантора без одной точки. Таким образом, локально компактные пространства столь же полезны в p-адическом анализе, как и в классическом анализе.

Примеры, не связанные с Hausdorff

Одноточечная компактификация рациональных чисел Q является компактной и, следовательно, локально компактной в смыслах (1) и (2), но не является локально компактной в смыслах (3) или (4). Топология конкретной точки на любом бесконечном множестве локально компактна в смыслах (1) и (3), но не в смыслах (2) или (4), поскольку замыкание любого окрестности — это всё пространство, которое не является компактным. Недизъюнктное объединение двух вышеупомянутых примеров локально компактно в смысле (1), но не в смыслах (2), (3) или (4). Топология правого порядка на действительной прямой локально компактна в смыслах (1) и (3), но не в смыслах (2) или (4), поскольку замыкание любой окрестности — это всё некомпактное пространство. Пространство Серпинского локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), а также компактно, но оно не является хаусдорфовым или регулярным (или даже предрегулярным), поэтому оно не локально компактно в смыслах (4) или (5). Недизъюнктное объединение счётного числа копий пространства Серпинского является некомпактным пространством, которое всё ещё локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), но не в (4) или (5). В более общем случае, топология исключённой точки локально компактна в смыслах (1), (2) и (3), и компактна, но не локально компактна в смыслах (4) или (5). Кофинитная топология на бесконечном множестве локально компактна в смыслах (1), (2) и (3), и компактна также, но она не является хаусдорфовой или регулярной, поэтому она не локально компактна в смыслах (4) или (5). Неразличимая топология на множестве, содержащем по крайней мере два элемента, локально компактна в смыслах (1), (2), (3) и (4), а также компактна, но она не является хаусдорфовой, поэтому она не локально компактна в смысле (5).

Общие классы примеров

Каждое пространство с топологией Александрова локально компактно в смысле (1) и (3).

Свойства

Любое локально компактное пререгулярное пространство, на самом деле, является полностью регулярным. Следовательно, каждое локально компактное пространство Хаусдорфа является пространством Тихоноффа. Поскольку прямая регулярность – более привычное условие, чем пререгулярность (которая обычно слабее) или полная регулярность (которая обычно сильнее), локально компактные пререгулярные пространства в математической литературе обычно называют локально компактными регулярными пространствами. Аналогично, локально компактные пространства Тихоноффа обычно называют локально компактными пространствами Хаусдорфа. Любое локально компактное регулярное пространство, в частности каждое локально компактное пространство Хаусдорфа, является пространством Байра. То есть, выполняется заключение теоремы о категории Бейра: внутренность любого счетного объединения нигде не плотных подмножеств пуста. Подпространство X локально компактного пространства Хаусдорфа Y локально компактно тогда и только тогда, когда X локально замкнуто в Y (то есть X можно представить как теоретико-множественную разность двух замкнутых подмножеств Y). В частности, каждое замкнутое множество и каждое открытое множество в локально компактном пространстве Хаусдорфа локально компактны. Кроме того, как следствие, плотное подпространство X локально компактного пространства Хаусдорфа Y локально компактно тогда и только тогда, когда X открыто в Y. Более того, если подпространство X любого пространства Хаусдорфа Y локально компактно, то X все равно должно быть локально замкнуто в Y, хотя обратное неверно в общем случае. Без предположения о Хаусдорфе некоторые из этих результатов перестают выполняться для более слабых понятий локальной компактности. Каждое замкнутое множество в слабо локально компактном пространстве (= условие (1) в определениях выше) слабо локально компактно. Но не каждое открытое множество в слабо локально компактном пространстве слабо локально компактно. Например, одноточечная компактификация рациональных чисел компактна и, следовательно, слабо локально компактна. Но она содержит открытое множество, которое не является слабо локально компактным. Факторпространства локально компактных пространств Хаусдорфа компактно порождены. И наоборот, каждое компактно порожденное пространство Хаусдорфа является факторпространством некоторого локально компактного пространства Хаусдорфа. Для функций, определенных на локально компактном пространстве, локальная равномерная сходимость эквивалентна компактной сходимости.

Every locally compact preregular space is, in fact, completely regular. It follows that every locally compact Hausdorff space is a Tychonoff space. Since straight regularity is a more familiar condition than either preregularity (which is usually weaker) or complete regularity (which is usually stronger), locally compact preregular spaces are normally referred to in the mathematical literature as locally compact regular spaces. Similarly locally compact Tychonoff spaces are usually just referred to as locally compact Hausdorff spaces. Every locally compact regular space, in particular every locally compact Hausdorff space, is a Baire space. That is, the conclusion of the Baire category theorem holds: the interior of every countable union of nowhere dense subsets is empty. A subspace X of a locally compact Hausdorff space Y is locally compact if and only if X is locally closed in Y (that is, X can be written as the set theoretic difference of two closed subsets of Y). In particular, every closed set and every open set in a locally compact Hausdorff space is locally compact. Also, as a corollary, a dense subspace X of a locally compact Hausdorff space Y is locally compact if and only if X is open in Y. Furthermore, if a subspace X of any Hausdorff space Y is locally compact, then X still must be locally closed in Y, although the converse does not hold in general. Without the Hausdorff hypothesis, some of these results break down with weaker notions of locally compact. Every closed set in a weakly locally compact space (= condition (1) in the definitions above) is weakly locally compact. But not every open set in a weakly locally compact space is weakly locally compact. For example, the one point compactification of the rational numbers is compact, and hence weakly locally compact. But it contains as an open set which is not weakly locally compact. Quotient spaces of locally compact Hausdorff spaces are compactly generated. Conversely, every compactly generated Hausdorff space is a quotient of some locally compact Hausdorff space. For functions defined on a locally compact space, local uniform convergence is the same as compact convergence.

Точка в бесконечности

В этом разделе рассматриваются компактификации локально компактных пространств. Каждое компактное пространство является собственной компактификацией. Поэтому, чтобы избежать тривиальностей, ниже предполагается, что пространство X не компактно. Поскольку каждое локально компактное хаусдорфово пространство X является тихоновым, оно может быть вложено в компактное хаусдорфово пространство с помощью компактификации Стоуна — Чеха. Но на самом деле, в локально компактном случае существует более простой метод: одноточечная компактификация вложит X в компактное хаусдорфово пространство, добавляя всего одну точку. (Одноточечную компактификацию можно применять и к другим пространствам, но она будет хаусдорфовой тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.) Таким образом, локально компактные хаусдорфовы пространства можно охарактеризовать как открытые подмножества компактных хаусдорфовых пространств. Интуитивно, добавленная точка в одноточечной компактификации может рассматриваться как точка на бесконечности. Точку на бесконечности следует представлять себе лежащей вне каждого компактного подмножества X. Многие интуитивные представления о стремлении к бесконечности можно сформулировать в локально компактных хаусдорфовых пространствах, используя эту идею. Например, говорят, что непрерывная функция f с вещественными или комплексными значениями, определенная на X, обращается в нуль на бесконечности, если для любого положительного числа ε существует компактное подмножество K пространства X такое, что |f(x)| < ε всякий раз, когда точка x лежит вне K. Это определение имеет смысл для любого топологического пространства X. Если X локально компактно и хаусдорфово, то такие функции являются именно теми, которые можно непрерывно продолжить до функции g на его одноточечной компактификации.

Представительство Gelfand

Для локально компактного пространства Хаусдорфа X множество всех непрерывных комплекснозначных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности, является коммутативной C*-алгеброй. Более того, каждая коммутативная C*-алгебра изоморфна алгебре непрерывных комплекснозначных функций на некотором единственном (с точностью до гомеоморфизма) локально компактном пространстве Хаусдорфа X. Это доказывается с помощью представления Гельфэнда.

Локально компактные группы

Понятие локальной компактности играет важную роль в изучении топологических групп, главным образом потому, что каждая хаусдорфова локально компактная группа G обладает естественными мерами, называемыми мерами Гаара, которые позволяют интегрировать измеримые функции, определённые на G. Мера Лебега на вещественной прямой является частным случаем этого. Понтрягинская двойственная топологической абелевой группы A локально компактна тогда и только тогда, когда A локально компактна. Более точно, дуальность Понтрягина определяет самодуальность категории локально компактных абелевых групп. Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа, который впоследствии распространился и на неабелевы локально компактные группы.