Динамические системы и перемешивание: от математики к физике.
Mixing (physics)
Динамические системы в физике: определение, типы смешивания (сильное, слабое, топологическое). Примеры и математические основы смешивания фазового пространства.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В физике динамическая система считается смешивающей, если её фазовое пространство становится сильно переплетённым в соответствии, по крайней мере, с одним из нескольких математических определений. Например, преобразование, сохраняющее меру T, называется сильно смешивающим, если
In physics, a dynamical system is said to be mixing if the phase space of the system becomes strongly intertwined, according to at least one of several mathematical definitions. For example, a measure preserving transformation T is said to be strong mixing if
для любых измеримых множеств A и B и соответствующей меры μ. Возможны и другие определения, включая слабое смешивание и топологическое смешивание. Математическое определение смешивания призвано отразить понятие физического смешивания. Классическим примером является Куба Либре: предположим, что кто-то добавляет ром (множество A) в стакан колы. После перемешивания стакана нижняя половина стакана (множество B) будет содержать ром, и его пропорция будет такой же, как и в любой другой части стакана. Смешивание происходит равномерно: независимо от рассматриваемой области B, в ней будет присутствовать часть A. Более подробное, но всё ещё неформальное описание смешивания можно найти в статье «Смешивание (математика)». Любое смешивающее преобразование является эргодическим, но существуют эргодические преобразования, которые не являются смешивающими.
whenever A and B are any measurable sets and μ is the associated measure. Other definitions are possible, including weak mixing and topological mixing. The mathematical definition of mixing is meant to capture the notion of physical mixing. A canonical example is the Cuba libre: suppose one is adding rum (the set A) to a glass of cola. After stirring the glass, the bottom half of the glass (the set B) will contain rum, and it will be in equal proportion as it is elsewhere in the glass. The mixing is uniform: no matter which region B one looks at, some of A will be in that region. A far more detailed, but still informal description of mixing can be found in the article on mixing (mathematics). Every mixing transformation is ergodic, but there are ergodic transformations which are not mixing.
Физическое смешивание
Смешивание газов или жидкостей — сложный физический процесс, описываемый уравнением конвективной диффузии, которое может включать нефикковскую диффузию, как, например, при спинодальном разложении. Конвективная часть управляющего уравнения содержит члены, описывающие движение жидкости, которое определяется уравнениями Навье — Стокса. Если свойства жидкости, такие как вязкость, зависят от состава, управляющие уравнения могут быть связаны между собой. Также могут возникать температурные эффекты. Неочевидно, что процессы смешивания жидкостей являются смешением в математическом смысле. Небольшие твердые объекты (например, камни) иногда смешивают во вращающемся барабане или перекатывающем устройстве. Лотерея отбора в армию 1969 года проводилась путем смешивания пластиковых капсул, в каждой из которых находился бумажный билет с указанием дня года.
The mixing of gases or liquids is a complex physical process, governed by a convective diffusion equation that may involve non Fickian diffusion as in spinodal decomposition. The convective portion of the governing equation contains fluid motion terms that are governed by the Navier–Stokes equations. When fluid properties such as viscosity depend on composition, the governing equations may be coupled. There may also be temperature effects. It is not clear that fluid mixing processes are mixing in the mathematical sense. Small rigid objects (such as rocks) are sometimes mixed in a rotating drum or tumbler. The 1969 Selective Service draft lottery was carried out by mixing plastic capsules which contained a slip of paper (marked with a day of the year).