Введение

Тип дифференциального оператора

В теории частных дифференциальных уравнений эллиптические операторы — это дифференциальные операторы, обобщающие оператор Лапласа. Они определяются условием, что коэффициенты старших производных положительны, что влечет за собой ключевое свойство: главный символ обратим, или, что эквивалентно, отсутствуют вещественные характеристические направления. Эллиптические операторы характерны для теории потенциала и часто встречаются в электростатике и механике сплошных сред. Эллиптическая регулярность означает, что их решения, как правило, являются гладкими функциями (если коэффициенты оператора гладкие). Установившиеся решения гиперболических и параболических уравнений обычно являются решениями эллиптических уравнений.

Теорема эллиптической закономерности

Пусть L — эллиптический оператор порядка 2k с коэффициентами, имеющими 2k непрерывных производных. Задача Дирихле для L состоит в нахождении функции u, заданной функцией f и некоторыми соответствующими граничными значениями, такой что Lu = f и u удовлетворяет этим граничным значениям и условиям на нормальные производные. Теория существования для эллиптических операторов, использующая неравенство Гардинга и лемму Лакса — Мильграма, гарантирует лишь существование слабого решения u в пространстве Соболева Hk. Эта ситуация в конечном итоге неудовлетворительна, поскольку слабое решение u может не иметь достаточного количества производных для того, чтобы выражение Lu было корректно определено в классическом смысле. Теорема об эллиптической регулярности гарантирует, что если f квадратично интегрируема, то u будет иметь 2k квадратично интегрируемых слабых производных. В частности, если f бесконечно дифференцируема, то и u также. Любой дифференциальный оператор, обладающий этим свойством, называется гипоэллиптическим; следовательно, каждый эллиптический оператор является гипоэллиптическим. Это свойство также означает, что любое фундаментальное решение эллиптического оператора бесконечно дифференцируемо в любой окрестности, не содержащей 0. В качестве примера рассмотрим функцию, удовлетворяющую уравнениям Коши — Римана. Поскольку уравнения Коши — Римана образуют эллиптический оператор, следует, что функция гладкая.