Введение
Характеризация нормальных пространств непрерывными функциями
В топологии лемма Урисона — это утверждение, согласно которому топологическое пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых подмножества можно разделить непрерывной функцией. Лемма Урисона обычно используется для построения непрерывных функций с различными свойствами на нормальных пространствах. Она широко применима, поскольку все метрические пространства и все компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными. Лемма обобщается (и обычно используется в доказательстве) теоремы Тице. Лемма названа в честь математика Павла Самуиловича Урысона.
In topology, Urysohn's lemma is a lemma that states that a topological space is normal if and only if any two disjoint closed subsets can be separated by a continuous function. Urysohn's lemma is commonly used to construct continuous functions with various properties on normal spaces. It is widely applicable since all metric spaces and all compact Hausdorff spaces are normal. The lemma is generalised by (and usually used in the proof of) the Tietze extension theorem. The lemma is named after the mathematician Pavel Samuilovich Urysohn.
Обсуждение
Два подмножества и топологического пространства называются разделимыми окрестностями, если существуют окрестности множества и множества , которые не пересекаются. В частности, и обязательно не пересекаются. Два подмножества и называются разделимыми непрерывной функцией, если существует непрерывная функция из в единичный интервал , такая, что для всех и для всех . Любая такая функция называется функцией Урысона для и . В частности, и обязательно не пересекаются. Из этого следует, что если два подмножества и разделимы функцией, то их замыкания также разделимы. Также следует, что если два подмножества и разделимы функцией, то и разделимы окрестностями. Нормальное пространство — это топологическое пространство, в котором любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены окрестностями. Лемма Урысона утверждает, что топологическое пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией. Множества и не обязаны быть точно разделены функцией , то есть не обязательно и не гарантируется, что и для вне . Топологическое пространство, в котором каждые два непересекающихся замкнутых подмножества и точно разделены непрерывной функцией, называется вполне нормальным. Лемма Урысона привела к формулированию других топологических свойств, таких как свойство Тихонова и полно-Хаусдорфовы пространства. Например, следствием леммы является то, что нормальные пространства T1 являются тихоновыми.