Введение

Французский математик, теоретик чисел Анри Леон Лебег.

Личная жизнь

Анри Лебег родился 28 июня 1875 года в Бове, департамент Уаз. Его отец был наборщиком, а мать — учительницей. Родители собрали дома библиотеку, которой юный Анри мог пользоваться. Отец умер от туберкулеза, когда Лебег был еще очень молод, и мать вынуждена была содержать его одна. За проявленный выдающийся талант к математике в начальной школе, один из его учителей организовал поддержку со стороны общества для продолжения его образования в Коллеже де Бове, а затем в лицее Сен-Луи и лицее Луи-ле-Гранд в Париже. В 1894 году Лебег был принят в Высшую нормальную школу, где продолжил углубленно изучать математику и окончил ее в 1897 году. После окончания он оставался в Высшей нормальной школе в течение двух лет, работая в библиотеке, где ознакомился с исследованиями Рене Луи Бэра о разрывности, проведенными этим недавним выпускником школы. Одновременно он начал обучение в аспирантуре в Сорбонне, где изучал работы Эмиля Бореля по теории меры и работы Камиля Жордана по мере Жордана. В 1899 году он перешел на преподавательскую работу в Центральный лицей в Нанси, продолжая работу над докторской диссертацией. В 1902 году он получил степень доктора наук в Сорбонне, защитив основополагающую диссертацию на тему «Интеграл, длина, площадь» под руководством Бореля, который был старше его на четыре года. Лебег женился на сестре одного из своих сокурсников, и у них родилось двое детей — Сюзанна и Жак. После публикации диссертации Лебегу в 1902 году предложили должность в Университете Ренна, где он преподавал до 1906 года, после чего перешел на факультет естественных наук Университета Пуатье. В 1910 году Лебег перешел в Сорбонну в качестве доцента, а с 1919 года стал профессором. В 1921 году он покинул Сорбонну, чтобы занять должность профессора математики в Коллеж де Франс, где читал лекции и проводил исследования до конца своей жизни. В 1922 году он был избран членом Академии наук. Анри Лебег умер 26 июля 1941 года в Париже. Однако эти незначительные опыты меркнут по сравнению с его вкладом в математический анализ; его работы оказали огромное влияние на современное состояние этой области, а его методы стали неотъемлемой частью современного анализа. Они имеют важные практические последствия для фундаментальной физики, о которых Лебег, вероятно, не знал, как указано ниже.

Теория интеграции Лебегге

Интеграция — это математическая операция, соответствующая неформальной идее нахождения площади под графиком функции. Первая теория интеграции была разработана Архимедом в III веке до н.э. с его методом квадратур, но применять её можно было лишь в ограниченных случаях, требующих высокой степени геометрической симметрии. В XVII веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли, что интеграция неразрывно связана с дифференцированием, которое, в свою очередь, является способом измерения скорости изменения функции в любой заданной точке на графике. Эта удивительная взаимосвязь между двумя основными геометрическими операциями в математическом анализе — дифференцированием и интегрированием — теперь известна как Основная теорема математического анализа. Она позволила математикам впервые вычислять широкий класс интегралов. Однако, в отличие от метода Архимеда, основанного на евклидовой геометрии, математики полагали, что интегральное исчисление Ньютона и Лейбница не имеет строгих оснований. В XIX веке Огюстен Коши разработал эпсилон-дельта-пределы, а Бернхард Риман развил эту идею, формализовав то, что теперь называется интегралом Римана. Для определения этого интеграла область под графиком заполняется всё меньшими и меньшими прямоугольниками, и вычисляется предел суммы площадей этих прямоугольников на каждом этапе. Однако для некоторых функций общая площадь этих прямоугольников не стремится к одному числу. Следовательно, у них нет интеграла Римана. Лебег изобрел новый метод интегрирования для решения этой проблемы. Вместо использования площадей прямоугольников, которые фокусируются на области определения функции, Лебег рассматривал область значений функции как основную единицу площади. Идея Лебега заключалась в том, чтобы сначала определить меру как для множеств, так и для функций на этих множествах. Затем он приступил к построению интеграла для так называемых простых функций — измеримых функций, принимающих лишь конечное число значений. После этого он определил интеграл для более сложных функций как верхнюю грань всех интегралов простых функций, меньших, чем рассматриваемая функция. Интеграл Лебега обладает свойством, что любая функция, определенная на ограниченном интервале и имеющая интеграл Римана, также имеет интеграл Лебега, и для таких функций оба интеграла совпадают. Более того, любая ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале имеет интеграл Лебега, и существует множество функций, имеющих интеграл Лебега, но не имеющих интеграла Римана. В процессе разработки интеграла Лебега Лебег изобрел понятие меры, которое расширяет идею длины от интервалов до очень широкого класса множеств, называемых измеримыми множествами (следовательно, более точно, простые функции — это функции, принимающие конечное число значений, и каждое значение принимается на измеримом множестве). Метод Лебега преобразования меры в интеграл легко обобщается на многие другие ситуации, что привело к созданию современной теории меры. Интеграл Лебега имеет один недостаток. Интеграл Римана обобщается до несобственного интеграла Римана для измерения функций, область определения которых не является замкнутым интервалом. Интеграл Лебега интегрирует многие из этих функций (всегда давая тот же результат), но не все. Для функций на вещественной прямой интеграл Хенстока является ещё более общим понятием интеграла (основанным на теории Римана, а не на теории Лебега), который включает в себя как интеграл Лебега, так и несобственный интеграл Римана. Однако интеграл Хенстока зависит от специфических свойств упорядочения вещественной прямой и поэтому не обобщается для интеграции в более общих пространствах (например, многообразиях), в то время как интеграл Лебега естественно распространяется на такие пространства.