Введение

Немецкий математик (1862–1943)

Давид Гильберт (/h//ɪ//l//b//ər//t/; 23 января 1862 – 14 февраля 1943) был немецким математиком и одним из наиболее влиятельных математиков XIX и начала XX веков. Гильберт открыл и разработал широкий спектр фундаментальных идей, включая теорию инвариантов, вариационное исчисление, коммутативную алгебру, алгебраическую теорию чисел, основы геометрии, спектральную теорию операторов и её применение к интегральным уравнениям, математическую физику и основания математики (в особенности теорию доказательств). Гильберт поддержал и защищал теорию множеств Георга Кантора и трансфинитные числа. В 1900 году он представил сборник проблем, который определил направления математических исследований XX века. Гильберт и его ученики внесли вклад в установление строгости и разработку важных инструментов, используемых в современной математической физике. Гильберт был одним из основоположников теории доказательств и математической логики.

Ранние годы и образование

Гильберт, первый из двух детей и единственный сын Отто, окружного судьи, и Марии Терезы Гильберт (урожденной Эрдтманн), дочери купца, родился в провинции Пруссия, Королевство Пруссия, либо в Кёнигсберге (согласно собственному заявлению Гильберта), либо в Вехлау (известном с 1946 года как Знаменск) близ Кёнигсберга, где его отец работал на момент его рождения. Его дедом по отцовской линии был Давид Гильберт, судья и тайный советник (Geheimrat). Мать Мария интересовалась философией, астрономией и простыми числами, а отец Отто воспитывал его в прусских добродетелях. После того как отец стал городским судьей, семья переехала в Кёнигсберг. Сестра Дэвида, Элиза, родилась, когда ему исполнилось шесть лет. Он начал обучение в школе в восемь лет, на два года позже общепринятого возраста. В конце 1872 года Гильберт поступил в гимназию Фридрихсколлегиум (Collegium fridericianum, ту же школу, которую посещал Иммануил Кант за 140 лет до этого); однако, после неудачного периода, он перешел (в конце 1879 года) и окончил (в начале 1880 года) Вильгельмскую гимназию, уделявшую больше внимания наукам. По окончании гимназии осенью 1880 года Гильберт поступил в Кенигсбергский университет, "Альбертину". В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта и также уроженец Кёнигсберга, но ранее учившийся в Берлине три семестра) вернулся в Кёнигсберг и поступил в университет. Гильберт завязал пожизненную дружбу с застенчивым и одаренным Минковским.

Карьера

В 1884 году Адольф Хурвиц прибыл из Геттингена в качестве экстраординария (то есть доцента). Между ними тремя начался интенсивный и плодотворный научный обмен, и Минковский с Гильбертом особенно оказывали взаимное влияние друг на друга на различных этапах своей научной деятельности. Гильберт получил докторскую степень в 1885 году, защитив диссертацию под руководством Фердинанда фон Линдемана, и оставался там до конца жизни.

Геттингенская школа

Среди учеников Гильберта были Герман Вейль, шахматный чемпион Эммануэль Ласкер, Эрнст Зермело и Карл Густав Гемпель. Джон фон Нейман был его ассистентом. В Геттингенском университете Гильберта окружал круг выдающихся математиков XX века, таких как Эмми Нётер и Алонзо Черч. Среди его 69 докторантов в Геттингене было много тех, кто впоследствии стал известными математиками, включая (с датой защиты диссертации): Отто Блюменталь (1898), Феликс Бернштейн (1901), Герман Вейль (1908), Рихард Курант (1910), Эрих Гекке (1910), Хьюго Штейнхаус (1911) и Вильгельм Аккерман (1925). В период с 1902 по 1939 год Гильберт был редактором журнала Mathematische Annalen, ведущего математического издания того времени. В 1907 году он был избран иностранным членом Национальной академии наук США.

Личная жизнь

В 1892 году Гильберт женился на Кэтхе Йерош (1864–1945), дочери кенигсбергского купца, "независимой и прямолинейной девушке, чья самостоятельность ума была сопоставима с его собственной". В Кёнигсберге у них родился единственный сын, Франц Гильберт (1893–1969). Франц всю жизнь страдал психическим заболеванием, и после поступления в психиатрическую клинику Гильберт сказал: "С этого момента я должен считать, что у меня нет сына". Такое отношение к Францу причиняло Кэтхе глубокую скорбь. Гильберт считал математика Германна Минковского своим "лучшим и самым преданным другом". Гильберт был крещен и воспитан в кальвинистской Прусской евангелической церкви. Позже он вышел из церкви и стал агностиком. Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или каких-либо априорных предпосылок. Когда Галилео Галилея критиковали за то, что он не защищал свои убеждения относительно гелиоцентрической теории, Гильберт возразил: "Но [Галилей] не был глупцом. Только глупец может верить, что научная истина требует мученичества; это может быть необходимо в религии, но научные результаты со временем доказывают свою состоятельность".

Поздние годы

Как и Альберт Эйнштейн, у Гильберта были тесные контакты с Берлинской группой, ведущие основатели которой учились у Гильберта в Геттингене (Курт Греллинг, Ганс Райхенбах и Уолтер Дубислав). Около 1925 года у Гильберта развилась злокачественная анемия – тогдашний неизлечимый дефицит витаминов, основным симптомом которого является истощение. Его помощник Юджин Вигнер описывал его как подверженного "огромной усталости" и отмечал, что он "казался весьма постаревшим", и даже после постановки диагноза и лечения он "едва ли был ученым после 1925 года, и тем более – Гильбертом". В 1932 году Гильберт был избран в Американское философское общество. Гильберт дожил до того, как нацисты уволили многих выдающихся преподавателей Геттингенского университета в 1933 году. Среди уволенных были Герман Вейль (который занял кафедру Гильберта после его выхода на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау. Пол Бернейс, вынужденный покинуть Германию, сотрудничал с Гильбертом в области математической логики и был его соавтором по важной книге «Основы математики» (которая в итоге вышла в двух томах в 1934 и 1939 годах). Эта книга стала продолжением работы Гильберта и Аккермана «Принципы математической логики» 1928 года. Преемником Германна Вейля стал Гельмут Хассе. Примерно через год Гильберт присутствовал на банкете и оказался за столом рядом с новым министром образования Бернардом Рустом. Руст спросил, действительно ли "Математический институт так сильно пострадал из-за ухода евреев". Гильберт ответил: "Пострадал? Его больше не существует, верно?"

Смерть

К тому времени, когда Гильберт умер в 1943 году, нацисты почти полностью обновили состав университета, так как многие из прежних преподавателей были евреями или состояли в браке с евреями. На похоронах Гильберта присутствовало менее десяти человек, лишь двое из которых были коллегами-учеными, среди них Арнольд Зоммерфельд, физик-теоретик и также уроженец Кёнигсберга. Известие о его смерти стало известно широкой общественности лишь спустя несколько месяцев после его кончины. Эпитафия на его могильном камне в Гёттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в заключение своей прощальной речи перед Обществом немецких ученых и врачей 8 сентября 1930 года. Эти слова были ответом на латинский принцип: "Ignoramus et ignorabimus", или "Мы не знаем и не узнаем":

За день до того, как Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей в 1930 году, Курт Гёдель – в ходе дискуссии за круглым столом на Конференции по эпистемологии, проходившей совместно с собранием Общества – предварительно представил первое формулирование своей теоремы о неполноте. Теоремы о неполноте Гёделя показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано, либо самопротиворечивы, либо содержат логические утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть в рамках этой системы.

Аксиоматизация геометрии

Текст Grundlagen der Geometrie (tr. : Основы геометрии), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида. Они избегают недостатков, выявленных в аксиомах Евклида, работы которого в то время все еще использовались как учебники. Трудно определить аксиомы, использованные Гильбертом, без обращения к истории публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз изменял и дополнял их. За оригинальной монографией быстро последовал французский перевод, в котором Гильберт добавил V.2, аксиому полноты. Английский перевод, выполненный с разрешения Гильберта Э. Дж. Таунсендом, был защищен авторским правом в 1902 году. Этот перевод включал изменения, внесенные во французском переводе, и поэтому считается переводом второго издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и на немецком языке вышло несколько изданий. Седьмое издание стало последним, опубликованным при жизни Гильберта. После седьмого издания выходили новые издания, но основной текст практически не пересматривался. Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу. В этом Гильберта предвосхитил труд Морица Паша, выполненный в 1882 году. Аксиомы не принимаются как самоочевидные истины. Геометрия может оперировать понятиями, относительно которых у нас есть сильная интуиция, но нет необходимости приписывать какой-либо конкретный смысл неопределенным понятиям. Элементы, такие как точка, прямая, плоскость и другие, могут быть заменены, как сообщается, по словам Гильберта, сказанным Шенфлайсу и Кёттеру, столами, стульями, кружками пива и другими подобными объектами. Речь идет об их определенных взаимосвязях. Гильберт сначала перечисляет неопределенные понятия: точка, прямая, плоскость, отношение «лежать на» (между точками и прямыми, точками и плоскостями, прямыми и плоскостями), между, конгруэнтность пар точек (отрезков) и конгруэнтность углов. Аксиомы объединяют как планиметрию, так и стереометрию Евклида в единую систему.

Формализм

В общепринятом к середине века описании, список проблем Гильберта также стал своего рода манифестом, открывшим путь для развития формалистской школы – одной из трех главных школ математики XX века. Согласно формалистам, математика представляет собой манипулирование символами в соответствии с оговоренными формальными правилами и, следовательно, является автономной деятельностью мышления. Однако есть основания сомневаться, были ли собственные взгляды Гильберта в этом смысле упрощенно формалистскими.

Работа Гёделя

Гильберт и математики, работавшие с ним над этим проектом, были преданы ему. Его попытка обосновать аксиоматизированную математику строгими принципами, способными устранить теоретические неопределенности, не увенчалась успехом. Гёдель показал, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно мощная для включения хотя бы арифметики, не может доказать свою полноту, опираясь только на собственные аксиомы. В 1931 году его теорема о неполноте продемонстрировала невозможность реализации грандиозного плана Гильберта в первоначальной формулировке. Второй аспект нельзя разумно объединить с первым, если система аксиом действительно является конечной. Тем не менее, дальнейшие достижения в теории доказательств, по крайней мере, прояснили вопрос о непротиворечивости теорий, представляющих основной интерес для математиков. Работа Гильберта задала логике направление на это прояснение; потребность в понимании работ Гёделя привела к развитию теории рекурсии, а затем и математической логики как самостоятельной дисциплины в 1930-х годах. Основа для последующей теоретической информатики, в работах Алонзо Черча и Алана Тьюринга, также непосредственно выросла из этой "дискуссии".

Функциональный анализ

Около 1909 года Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений; его работа имела непосредственные последствия для важных областей современного функционального анализа. Чтобы осуществить эти исследования, Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства, впоследствии названного пространством Гильберта. Его работа в этой области анализа заложила основу для значительных достижений в математической физике в последующие два десятилетия, хотя и с неожиданной стороны. Позже Стефан Банах развил эту концепцию, определив пространства Банаха. Пространства Гильберта являются важным классом объектов в области функционального анализа, в частности, в спектральной теории самосопряженных линейных операторов, которая сформировалась вокруг них в течение 20-го века.

Физика

До 1912 года Гильберт был почти исключительно чистым математиком. Планируя визит из Бонна, где он глубоко изучал физику, его коллега по математике и друг Герман Минковский пошутил, что ему потребуется провести 10 дней в карантине, прежде чем он сможет навестить Гильберта. Фактически, Минковский, по-видимому, ответственен за большую часть физических исследований Гильберта до 1912 года, включая их совместный семинар по этой теме в 1905 году. В 1912 году, через три года после смерти друга, Гильберт почти полностью переключил свое внимание на эту область. Он нанял себе "репетитора по физике". Он начал изучать кинетическую теорию газов, затем перешел к теории элементарного излучения и молекулярной теории материи. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал проводить семинары и занятия, на которых внимательно следили за работами Альберта Эйнштейна и других. К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации, но затем в течение почти 8 лет боролся, чтобы придать теории окончательную форму. К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности, и он пригласил Эйнштейна в Геттинген для проведения недельного курса лекций по этой теме. Эйнштейн был тепло встречен в Геттингене. Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работает над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал ряд статей, кульминацией которых стали "Уравнения гравитационного поля" (см. Уравнения поля Эйнштейна). Практически одновременно Гильберт опубликовал "Основы физики", аксиоматическое выведение уравнений поля (см. Действие Эйнштейна — Гильберта). Гильберт полностью признал Эйнштейна первооткрывателем теории, и в течение жизни между этими двумя учеными не возникало никаких публичных споров о приоритете в отношении уравнений поля. Подробнее см. в разделе "Приоритет". Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и способствовала нескольким достижениям в математической формулировке квантовой механики. Его работа была ключевым аспектом работы Германна Вейля и Джона фон Неймана по математической эквивалентности матричной механики Вернера Гейзенберга и волнового уравнения Эрвина Шрёдингера, а его пространство Гильберта играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что если квантовые состояния понимать как векторы в пространстве Гильберта, то они будут соответствовать как теории волновой функции Шрёдингера, так и матрицам Гейзенберга. На протяжении всего этого погружения в физику Гильберт работал над приданием строгости математике, используемой в физике. Хотя физики в значительной степени полагались на высшую математику, они, как правило, были "небрежны" в ее применении. Для чистого математика, такого как Гильберт, это было одновременно некрасиво и трудно понять. По мере того как он начал понимать физику и то, как физики используют математику, он разработал последовательную математическую теорию для объяснения своих находок, особенно в области интегральных уравнений. Когда его коллега Рихард Курант написал классический труд "Методы математической физики", включив в него некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта в качестве соавтора, хотя Гильберт не принимал непосредственного участия в написании. Гильберт сказал: "Физика слишком сложна для физиков", подразумевая, что необходимая математика, как правило, была им недоступна; книга Куранта и Гильберта сделала ее более понятной для них.

Теория чисел

Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате «Zahlbericht» (буквально «доклад о числах») 1897 года. Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Уорингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности, он использовал доказательство существования, показывающее, что решения проблемы должны существовать, но не предоставляющее механизма для их нахождения. После этого он опубликовал немного нового по этой теме, однако появление модульных форм Гильберта в диссертации его ученика закрепило его имя за важной областью исследований. Он выдвинул ряд гипотез в теории классовых полей. Эти идеи оказали большое влияние, и его вклад сохраняется в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории локальных классовых полей. Большинство результатов были доказаны к 1930 году, после работ Тейдзи Такаги. Гильберт не занимался центральными вопросами аналитической теории чисел, но его имя связано с гипотезой Гильберта — По́ли, причины чего носят анекдотический характер. Эрнст Хеллингер, ученик Гильберта, однажды рассказал Андре Вейлю, что Гильберт на своем семинаре в начале 1900-х годов заявил, что ожидает, что доказательство гипотезы Римана будет следствием работы Фредхольма над интегральными уравнениями с симметричным ядром.

Работы

Его собрание сочинений (Gesammelte Abhandlungen) было опубликовано несколько раз. Первоначальные версии его работ содержали "много технических ошибок разной степени серьезности"; при первом издании сборника ошибки были исправлены, и оказалось, что это можно было сделать без существенных изменений в формулировках теорем, за исключением одного случая — предполагаемого доказательства гипотезы континуума. Тем не менее, ошибок было настолько много и они были настолько значительными, что Ольге Тауски Тодд потребовалось три года, чтобы внести все исправления.

Основная литература в английском переводе

В 1918 году. "Аксиоматическое мышление", 1114–1115. В 1922 году. "Новое обоснование математики: первый доклад", 1115–1133. В 1923 году. "Логические основания математики", 1134–1147. В 1930 году. "Логика и познание природы", 1157–1165. В 1931 году. "Обоснование элементарной теории чисел", 1148–1156. В 1904 году. "Об основаниях логики и арифметики", 129–138. В 1925 году. "О бесконечном", 367–392. В 1927 году. "Основания математики", с комментарием Вейля и приложением Бернайса, 464–489.

Вторичная литература

, доступна в Gallica. "Речь" Габриэля Бертрана от 20 декабря 1943 года во Французской академии: он представляет биографические очерки о жизни недавно ушедших из жизни членов, включая Питера Земана, Давида Гильберта и Жоржа Жиро. Боттаццини Умберто, 2003. Флейта Гильберта. История математики. UTET, Corry, L., Renn, J., and Stachel, J., 1997, "Позднее решение в споре о приоритете Гильберта и Эйнштейна", Science 278: nn nn. Доусон, Джон У. мл., 1997. Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя. Уэлсли, Массачусетс: A. K. Peters. Грэттан-Гиннесс, Айвор, 2000. В поисках математических корней 1870–1940. Издательство Принстонского университета. Грей, Джереми, 2000. Вызов Гильберта. Мехра, Джагдиш, 1974. Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации. Reidel. Пьерджо Оддифредди, 2003. Divertimento Geometrico. Геометрические истоки логики от Евклида до Гильберта. Bollati Boringhieri, ясное изложение "ошибок" Евклида и решений, представленных в "Grundlagen der Geometrie", со ссылкой на неевклидову геометрию. Определяющая биография Гильберта на английском языке. Sieg, Wilfried, and Ravaglia, Mark, 2005, "Grundlagen der Mathematik" в Grattan Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 981–99. (на английском языке) Торн, Кип, 1995. Чёрные дыры и искривления времени: Наследие Эйнштейна. W. W. Norton & Company; переиздание. Георг фон Валлвиц: "Господа, это не купальня". Как математик изменил XX век. Berenberg Verlag, Берлин 2017, ISBN 978 3 946334 24 8. Определяющая биография Гильберта на немецком языке.