Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Француз математигі, сандар теориясының маманы Анри Леон Лебесг.
French mathematician
the number theorist
Henri Léon Lebesgue
Жеке өмір
Анри Лебесг 1875 жылғы 28 маусымда Оаза департаментінің Бове қаласында дүниеге келген. Лебегтің әкесі баспагер, ал анасы мектеп мұғалімі болған. Олар үйде кітапхана жинады, оны жас Генри пайдаланды. Әкесі туберкулезден ерте қайтыс болғандықтан, анасы оны өзі ғана асырап өсірді. Бастауыш мектепте математикаға ерекше қабілетін көрсеткендіктен, оның бір ұстазы қоғамдық қолдау алуға көмектесті. Ол білімін Бове колледжінде, содан кейін Париждегі Сен-Луи және Луи-ле-Гранд лицейлерінде жалғастырды. 1894 жылы Лебесг Жоғарғы нормалды мектепке қабылданды, онда математиканы оқып, 1897 жылы бітірді. Бітіргеннен кейін ол екі жыл École Normale Supérieure-де кітапханада жұмыс істеді, сол кезде мектепті жақында бітірген Рене Луи Бэрдің үздіксіздік туралы зерттеулерімен танысты. Сонымен қатар ол Сорбоннада аспирантураға түсті, онда Эмил Борельдің мөлшер теориясының бастапқы жұмыстарымен және Камиль Жорданның Жордан мөлшерімен танысты. 1899 жылы ол докторлық диссертациясын аяқтаумен бірге Нансидегі Орталық лицейде оқытушы болып жұмыс істеді. 1902 жылы ол Сорбоннадан «Интеграл, Ұзындық, Аудан» тақырыбындағы маңызды диссертациясын қорғап, доктор ғылымын алды, оның жетекшісі Борель болды, ол одан төрт жас үлкен еді. Лебесг өзінің бір сыныптасының қарындасымен үйленді және олардың Сюзанна және Жак есімді екі баласы болды. Диссертациясын жариялағаннан кейін, 1902 жылы Лебесгке Ренн университетінде қызмет ұсынылды, ол 1906 жылға дейін дәріс берді, содан кейін Пуатье университетінің ғылым факультетіне көшті. 1910 жылы Лебесг Сорбоннаға конференция төрағасы болып ауысты, ал 1919 жылдан бастап профессор атанды. 1921 жылы ол Сорбоннаны тастап, Франция колледжінде математика профессоры болды, онда өмірінің соңына дейін дәріс оқыды және зерттеулер жүргізді. 1922 жылы ол Ғылым академиясының мүшесі болып сайланды. Анри Лебесг 1941 жылғы 26 шілдеде Парижде қайтыс болды. Дегенмен, оның нақты талдауға қосқан үлесімен салыстырғанда, бұл шағын ізденістері бәлеңкейде қалады; оның осы салаға қосқан үлесі қазіргі талдаудың қалыптасуына зор әсер етті және оның әдістері қазіргі заманғы талдаудың маңызды бөлігіне айналды. Бұлар Лебесгтің тіпті білмеген негізгі физикаға маңызды практикалық әсер етеді, туралы төменде айтылған.
Henri Lebesgue was born on 28 June 1875 in Beauvais, Oise. Lebesgue's father was a typesetter and his mother was a school teacher. His parents assembled at home a library that the young Henri was able to use. His father died of tuberculosis when Lebesgue was still very young and his mother had to support him by herself. As he showed a remarkable talent for mathematics in primary school, one of his instructors arranged for community support to continue his education at the Collège de Beauvais and then at Lycée Saint Louis and Lycée Louis le Grand in Paris. In 1894, Lebesgue was accepted at the École Normale Supérieure, where he continued to focus his energy on the study of mathematics, graduating in 1897. After graduation he remained at the École Normale Supérieure for two years, working in the library, where he became aware of the research on discontinuity done at that time by René Louis Baire, a recent graduate of the school. At the same time he started his graduate studies at the Sorbonne, where he learned about Émile Borel's work on the incipient measure theory and Camille Jordan's work on the Jordan measure. In 1899 he moved to a teaching position at the Lycée Central in Nancy, while continuing work on his doctorate. In 1902 he earned his PhD from the Sorbonne with the seminal thesis on "Integral, Length, Area", submitted with Borel, four years older, as advisor. Lebesgue married the sister of one of his fellow students, and he and his wife had two children, Suzanne and Jacques. After publishing his thesis, Lebesgue was offered in 1902 a position at the University of Rennes, lecturing there until 1906, when he moved to the Faculty of Sciences of the University of Poitiers. In 1910 Lebesgue moved to the Sorbonne as a maître de conférences, being promoted to professor starting in 1919. In 1921 he left the Sorbonne to become professor of mathematics at the Collège de France, where he lectured and did research for the rest of his life. In 1922 he was elected a member of the Académie des Sciences. Henri Lebesgue died on 26 July 1941 in Paris. However, these minor forays pale in comparison to his contributions to real analysis; his contributions to this field had a tremendous impact on the shape of the field today and his methods have become an essential part of modern analysis. These have important practical implications for fundamental physics of which Lebesgue would have been completely unaware, as noted below.
Лебегтің интеграция теориясы
Интеграция – функция графигінің астындағы ауданды табудың формалды емес идеясына сәйкес келетін математикалық операция. Интеграцияның алғашқы теориясын б.з.б. 3 ғасырда Архимед өзінің квадраттар әдісімен жасады, бірақ оны геометриялық симметриясы жоғары дәрежеде болған шектеулі жағдайларда ғана қолдануға болады. 17 ғасырда Исаак Ньютон мен Готфрид Вильгельм Лейбниц интеграцияның дифференциациямен тығыз байланысты екенін ашты, соңғысы – функцияның графиктегі кез келген нүктеде қаншалықты жылдам өзгеретінін өлшеу тәсілі. Екі маңызды геометриялық операция арасындағы бұл күтпеген байланыс – дифференциация және интеграция – қазіргі кезде негізгі теорема деп белгілі. Ол математиктерге интегралдардың кең класын алғаш рет есептеуге мүмкіндік берді. Дегенмен, Евклид геометриясына негізделген Архимед әдісінен айырмашылығы, математиктер Ньютон мен Лейбництің интегралдық есептеуінің қатаң негізі жоқ деп санады. 19 ғасырда Августин Коши епсилон-дельта шектерін енгізді, ал Бернхард Риман осыған орай қазір Риман интегралы деп аталатын нәрсені формалдады. Бұл интегралды анықтау үшін функция графигінің астындағы ауданды кішірейе түсетін тіктөртбұрыштармен толтырып, әр кезеңде тіктөртбұрыштардың аудандары қосындысының лимитін алады. Бірақ кейбір функциялар үшін осы тіктөртбұрыштардың жалпы ауданы бір санға жақындамайды. Сондықтан, олардың Риман интегралы жоқ. Лебег бұл мәселені шешу үшін интеграцияның жаңа әдісін ойлап тапты. Функцияның доменіне назар аударатын тіктөртбұрыштардың аудандарын пайдаланудың орнына, Лебег өзінің негізгі аудан бірлігі үшін функцияның кодоменін қарастырды. Лебегтің идеясы – алдымен жиындар мен сол жиындардағы функциялар үшін өлшемді анықтау. Содан кейін ол қарапайым функциялар деп аталатын интегралды құруға кірісті; тек шекті санда мән қабылдайтын өлшенетін функциялар. Содан кейін ол оны күрделі функциялар үшін қарапайым функциялар интегралдарының жоғарғы шегі ретінде анықтады. Лебег интегралының қасиеті – Риман интегралы бар шектелген интервалда анықталған кез келген функцияның Лебег интегралы да болады, және осы функциялар үшін екі интеграл сәйкес келеді. Сонымен қатар, жабық шектелген интервалдағы әрбір шектелген функцияның Лебег интегралы бар, ал Риман интегралы жоқ, бірақ Лебег интегралы бар көптеген функциялар бар. Лебег интеграциясын дамыту барысында Лебег өлшем ұғымын ойлап тапты, ол ұзындық идеясын интервалдардан өлшенетін жиындар деп аталатын өте кең жиынға дейін кеңейтеді (яғни, қарапайым функциялар – шекті санда мән қабылдайтын функциялар, және әрбір мән өлшенетін жиында алынады). Лебегтің өлшемді интегралға айналдыру әдісі көптеген басқа жағдайларға оңай жалпыланады, бұл қазіргі заманғы өлшем теориясына әкеледі. Лебег интегралы бір жағынан кемшіліктері бар. Риман интегралы анықтамасы жабық интервал емес функцияларды өлшеу үшін дұрыс емес Риман интегралына жалпылайды. Лебег интегралы осы функциялардың көпшілігін интеграциялайды (әрқашан бірдей жауап береді), бірақ олардың барлығын емес. Нақты түзудегі функциялар үшін Хенсток интегралы – интегралдың одан да жалпы түсінігі (Лебегтің емес, Риманның теориясына негізделген), ол Лебег интегралы мен Риманның дұрыс емес интегралын қамтиды. Алайда, Хенсток интегралы нақты түзудің нақты реттелу ерекшеліктеріне байланысты және сондықтан жалпы кеңістіктерде интеграцияға мүмкіндік беру үшін жалпыланбайды (мысалы, манифольдтар), ал Лебег интегралы мұндай кеңістікке табиғи түрде таралады.
Integration is a mathematical operation that corresponds to the informal idea of finding the area under the graph of a function. The first theory of integration was developed by Archimedes in the 3rd century BC with his method of quadratures, but this could be applied only in limited circumstances with a high degree of geometric symmetry. In the 17th century, Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz discovered the idea that integration was intrinsically linked to differentiation, the latter being a way of measuring how quickly a function changed at any given point on the graph. This surprising relationship between two major geometric operations in calculus, differentiation and integration, is now known as the Fundamental Theorem of Calculus. It has allowed mathematicians to calculate a broad class of integrals for the first time. However, unlike Archimedes' method, which was based on Euclidean geometry, mathematicians felt that Newton's and Leibniz's integral calculus did not have a rigorous foundation. In the 19th century, Augustin Cauchy developed epsilon delta limits, and Bernhard Riemann followed up on this by formalizing what is now called the Riemann integral. To define this integral, one fills the area under the graph with smaller and smaller rectangles and takes the limit of the sums of the areas of the rectangles at each stage. For some functions, however, the total area of these rectangles does not approach a single number. Thus, they have no Riemann integral. Lebesgue invented a new method of integration to solve this problem. Instead of using the areas of rectangles, which put the focus on the domain of the function, Lebesgue looked at the codomain of the function for his fundamental unit of area. Lebesgue's idea was to first define measure, for both sets and functions on those sets. He then proceeded to build the integral for what he called simple functions; measurable functions that take only finitely many values. Then he defined it for more complicated functions as the least upper bound of all the integrals of simple functions smaller than the function in question. Lebesgue integration has the property that every function defined over a bounded interval with a Riemann integral also has a Lebesgue integral, and for those functions the two integrals agree. Furthermore, every bounded function on a closed bounded interval has a Lebesgue integral and there are many functions with a Lebesgue integral that have no Riemann integral. As part of the development of Lebesgue integration, Lebesgue invented the concept of measure, which extends the idea of length from intervals to a very large class of sets, called measurable sets (so, more precisely, simple functions are functions that take a finite number of values, and each value is taken on a measurable set). Lebesgue's technique for turning a measure into an integral generalises easily to many other situations, leading to the modern field of measure theory. The Lebesgue integral is deficient in one respect. The Riemann integral generalises to the improper Riemann integral to measure functions whose domain of definition is not a closed interval. The Lebesgue integral integrates many of these functions (always reproducing the same answer when it does), but not all of them. For functions on the real line, the Henstock integral is an even more general notion of integral (based on Riemann's theory rather than Lebesgue's) that subsumes both Lebesgue integration and improper Riemann integration. However, the Henstock integral depends on specific ordering features of the real line and so does not generalise to allow integration in more general spaces (say, manifolds), while the Lebesgue integral extends to such spaces quite naturally.