Введение
Обобщение средних
В математике и статистике квазиарифметическое среднее, или обобщенное f-среднее, или среднее Колмогорова — Нагумо — де Финетти, является одним из обобщений более известных средних, таких как арифметическое и геометрическое среднее, использующим функцию. Оно также называется средним Колмогорова в честь советского математика Андрея Колмогорова. Это более широкое обобщение, чем обычное обобщенное среднее.
In mathematics and statistics, the quasi arithmetic mean or generalised f mean or Kolmogorov Nagumo de Finetti mean is one generalisation of the more familiar means such as the arithmetic mean and the geometric mean, using a function It is also called Kolmogorov mean after Soviet mathematician Andrey Kolmogorov. It is a broader generalization than the regular generalized mean.
Примеры
Если ℝ – множество действительных чисел, а – (или любая линейная функция , не равная 0), то f-среднее соответствует арифметическому среднему. Если ℝ+ – множество положительных действительных чисел и , то f-среднее соответствует геометрическому среднему. Согласно свойствам f-среднего, результат не зависит от основания логарифма, пока оно положительно и не равно 1. Если ℝ+ и , то f-среднее соответствует гармоническому среднему. Если ℝ+ и , то f-среднее соответствует степенному среднему со степенью . Если ℝ и , то f-среднее является средним в логарифмическом полукольце, которое представляет собой сдвинутую версию функции LogSumExp (LSE) (являющейся логарифмической суммой). соответствует делению на n, поскольку логарифмическое деление – это линейное вычитание. Функция LogSumExp – это гладкий максимум: гладкое приближение к функции максимума.
Характеристика
Существует несколько различных наборов свойств, характеризующих квазиарифметическое среднее (то есть любая функция, удовлетворяющая этим свойствам, является f-средним для некоторой функции f). Медиальность по сути достаточна для характеристики квазиарифметических средних. Самораспределительность по существу достаточна для характеристики квазиарифметических средних. Балансировка: Интересный вопрос заключается в том, влечет ли это условие (вместе со свойствами симметрии, фиксированной точки, монотонности и непрерывности) то, что среднее является квазиарифметическим. Георг Ауман показал в 1930-х годах, что ответ в общем случае отрицательный, но если дополнительно предположить, что функция аналитична, то ответ положительный.
Однородность
Средние значения обычно однородны, но для большинства функций среднее значение f таковым не является. Действительно, единственными однородными квазиарифметическими средними являются степенные средние (включая геометрическое среднее); см. Харди — Литтлвуд — Поля, страница 68. Свойство однородности можно добиться, нормализовав входные значения относительно некоторой (однородной) средней. Однако эта модификация может нарушить монотонность и свойство разбиения средней.
However this modification may violate monotonicity and the partitioning property of the mean.