Введение

Интеграл гауссовской функции, равный sqrt(π).

Гауссов интеграл, также известный как интеграл Эйлера — Пуассона, представляет собой интеграл гауссовской функции по всей вещественной прямой. Названный в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, этот интеграл был впервые обнаружен Авраамом де Муавром в 1733 году, а Гаусс опубликовал его точное значение в 1809 году. Интеграл имеет широкий спектр применений. Например, с небольшим изменением переменных он используется для вычисления нормализующей константы нормального распределения. Тот же интеграл с конечными пределами интегрирования тесно связан как с функцией ошибок, так и с функцией кумулятивного распределения нормального распределения. В физике этот тип интеграла часто встречается, например, в квантовой механике при определении плотности вероятности основного состояния гармонического осциллятора. Он также используется в интегральном представлении, для нахождения пропагатора гармонического осциллятора, и в статистической механике для вычисления функции разделения. Хотя для функции ошибок не существует элементарного выражения, что может быть доказано алгоритмом Риша, гауссов интеграл может быть решен аналитически с помощью методов многомерного исчисления. То есть, не существует элементарного неопределенного интеграла, но определенный интеграл может быть вычислен. Определенный интеграл произвольной гауссовской функции равен

Полиномы высшего порядка

Применение линейного изменения базиса показывает, что интеграл экспоненты однородного многочлена от n переменных может зависеть только от SL(n)-инвариантов многочлена. Одним из таких инвариантов является дискриминант, нули которого отмечают сингулярности интеграла. Однако интеграл может также зависеть от других инвариантов. Экспоненты других чётных многочленов могут быть численно решены с помощью рядов. Эти ряды могут рассматриваться как формальные вычисления в случае отсутствия сходимости. Например, решение интеграла экспоненты квартичного многочлена подчиняется условию 1 = n + p = 0 (mod 2), поскольку интеграл от −∞ до 0 вносит вклад (−1)^(n+p)/2 в каждый член, а интеграл от 0 до +∞ вносит вклад 1/2 в каждый член. Подобные интегралы возникают в таких областях, как квантовая теория поля.