Введение

Проблема решения частного дифференциального уравнения с заданными граничными условиями
В математике задача Дирихле состоит в поиске функции, являющейся решением заданного частного дифференциального уравнения (ПДУ) во внутренней области данной области, при этом принимающей предписанные значения на границе этой области. Задача Дирихле может быть решена для многих ПДУ, хотя изначально она была сформулирована для уравнения Лапласа. В этом случае задачу можно сформулировать следующим образом:

Дана функция f, имеющая значения на всей границе области в , существует ли единственная непрерывная функция, дважды непрерывно дифференцируемая во внутренней области и непрерывная на границе, такая, что является гармонической во внутренней области и равна f на границе? Это требование называется граничным условием Дирихле. Основная задача заключается в доказательстве существования решения; единственность может быть доказана с использованием принципа максимума.

История

Проблема Дирихле восходит к Джорджу Грину, который изучал эту проблему для общих областей с общими граничными условиями в своем эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма, опубликованном в 1828 году. Он свел проблему к задаче построения того, что мы теперь называем функциями Грина, и утверждал, что функция Грина существует для любой области. Его методы не были достаточно строгими по современным меркам, но его идеи оказали значительное влияние на дальнейшее развитие. Следующие шаги в изучении проблемы Дирихле были сделаны Карлом Фридрихом Гаусом, Уильямом Томсоном (лорд Кельвин) и Питером Густавом Лежун Дирихле, в честь которого проблема и была названа, а решение проблемы (по крайней мере, для шара) с использованием ядра Пуассона было известно Дирихле (судя по его работе 1850 года, представленной в Прусскую академию). Лорд Кельвин и Дирихле предложили решение проблемы вариационным методом, основанным на минимизации «энергии Дирихле». Согласно Гансу Фрейденталю (в «Словаре научной биографии», том 11), Бернхард Риман был первым математиком, решившим эту вариационную задачу, используя метод, который он назвал принципом Дирихле. Существование единственного решения весьма правдоподобно с точки зрения «физического аргумента»: любое распределение заряда на границе, согласно законам электростатики, должно определять электрический потенциал как решение. Однако Карл Вейерштрасс обнаружил изъян в аргументации Римана, и строгое доказательство существования было получено лишь в 1900 году Давидом Гильбертом, с использованием его прямого метода в вариационном исчислении. Оказывается, существование решения тонко зависит от гладкости границы и заданных данных.

Существование

Проблема Дирихле для гармонических функций всегда имеет решение, и это решение единственно, когда граница достаточно гладкая и функция, заданная на границе, непрерывна. Более точно, решение существует, когда

для некоторого , где обозначает условие Гёльдера.

Способы растворения

Для ограниченных областей, проблему Дирихле можно решить с помощью метода Перрона, который основан на принципе максимума для субармонических функций. Этот подход описан во многих учебниках. Он плохо подходит для описания гладкости решений, когда граница гладкая. Другой классический подход, использующий пространства Гильберта через пространства Соболева, позволяет получить такую информацию. Решение проблемы Дирихле с использованием пространств Соболева для планарных областей может быть использовано для доказательства гладкой версии теоремы Римана о отображениях. Предложен альтернативный подход к установлению гладкой теоремы Римана о отображениях, основанный на воспроизводящих ядрах Сеге и Бергмана, который, в свою очередь, был использован для решения проблемы Дирихле. Классические методы теории потенциала позволяют решать проблему Дирихле непосредственно в терминах интегральных операторов, для которых применима стандартная теория компактных и операторов Фредгольма. Те же методы применимы и к проблеме Неймана.

Обобщения

Проблемы Дирихле типичны для эллиптических уравнений в частных производных, теории потенциала и, в частности, уравнения Лапласа. Другие примеры включают бигармоническое уравнение и связанные с ним уравнения в теории упругости. Они относятся к одному из нескольких классов задач ПДЭ, определяемых информацией, заданной на границе, включая задачи Неймана и задачи Коши.