Ядерная оболочечная модель

Введение

Модель атомного ядра

В ядерной физике, атомной физике и ядерной химии модель ядерной оболочки использует принцип исключения Паули для моделирования структуры атомных ядер в терминах энергетических уровней. Первая модель оболочки была предложена Дмитрием Иваненко (совместно с Э. Гапоном) в 1932 году. Модель была разработана в 1949 году после независимых работ нескольких физиков, наиболее заметно Марии Гёпперт-Майер и Дж. Ганса Д. Дженсена, которые получили Нобелевскую премию по физике в 1963 году за вклад в эту модель, и Юджина Вигнера, который получил Нобелевскую премию вместе с ними за его основополагающие работы по атомным ядрам. Модель ядерной оболочки частично аналогична модели атомной оболочки, описывающей расположение электронов в атоме, поскольку заполненная оболочка обеспечивает большую стабильность. При добавлении нуклонов (протонов и нейтронов) к ядру существуют определенные точки, в которых энергия связи следующего нуклона значительно меньше, чем энергия связи предыдущего. Это наблюдение о том, что существуют специфические магические квантовые числа нуклонов (2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126), которые связаны более прочно, чем следующие большие числа, является источником модели оболочки. Оболочки для протонов и нейтронов независимы друг от друга. Следовательно, могут существовать как "магические ядра", в которых один или другой тип нуклонов находится при магическом числе, так и "двойные магические ядра", в которых оба типа находятся при магических числах. Из-за вариаций в заполнении орбиталей верхние магические числа равны 126 и, предположительно, 184 для нейтронов, но только 114 для протонов, что играет роль в поиске так называемого острова стабильности. Были обнаружены некоторые полумагические числа, в частности Z = 40, которое определяет заполнение ядерной оболочки для различных элементов; 16 также может быть магическим числом. Для получения этих чисел модель ядерной оболочки начинается со среднего потенциала, форма которого находится где-то между квадратным потенциальным ямой и гармоническим осциллятором. К этому потенциалу добавляется спин-орбитальный член. Тем не менее, общее возмущение не совпадает с экспериментальными данными, и необходимо добавить эмпирическое спин-орбитальное взаимодействие с по крайней мере двумя или тремя различными значениями константы взаимодействия, в зависимости от исследуемых ядер. Магические числа ядер, а также другие свойства, могут быть получены путем аппроксимации модели с помощью трехмерного гармонического осциллятора плюс спин-орбитальное взаимодействие. Более реалистичный, но сложный потенциал известен как потенциал Вудса-Саксона.

In nuclear physics, atomic physics, and nuclear chemistry, the nuclear shell model utilizes the Pauli exclusion principle to model the structure of atomic nuclei in terms of energy levels. The first shell model was proposed by Dmitri Ivanenko (together with E. Gapon) in 1932. The model was developed in 1949 following independent work by several physicists, most notably Maria Goeppert Mayer and J. Hans D. Jensen, who received the 1963 Nobel Prize in Physics for their contributions to this model, and Eugene Wigner, who received the Nobel Prize alongside them for his earlier groundlaying work on the atomic nuclei. The nuclear shell model is partly analogous to the atomic shell model, which describes the arrangement of electrons in an atom, in that a filled shell results in better stability. When adding nucleons (protons and neutrons) to a nucleus, there are certain points where the binding energy of the next nucleon is significantly less than the last one. This observation that there are specific magic quantum numbers of nucleons (2, 8, 20, 28, 50, 82, and 126) that are more tightly bound than the following higher number is the origin of the shell model. The shells for protons and neutrons are independent of each other. Therefore, there can exist both "magic nuclei", in which one nucleon type or the other is at a magic number, and "doubly magic quantum nuclei", where both are. Due to variations in orbital filling, the upper magic numbers are 126 and, speculatively, 184 for neutrons, but only 114 for protons, playing a role in the search for the so called island of stability. Some semi magic numbers have been found, notably Z = 40, which gives the nuclear shell filling for the various elements; 16 may also be a magic number. To get these numbers, the nuclear shell model starts with an average potential with a shape somewhere between the square well and the harmonic oscillator. To this potential, a spin orbit term is added. Even so, the total perturbation does not coincide with the experiment, and an empirical spin orbit coupling must be added with at least two or three different values of its coupling constant, depending on the nuclei being studied. The magic numbers of nuclei, as well as other properties, can be arrived at by approximating the model with a three dimensional harmonic oscillator plus a spin–orbit interaction. A more realistic but complicated potential is known as the Woods–Saxon potential.

Изменение профиля потенциала

Потенциал гармонического осциллятора неограниченно возрастает с увеличением расстояния от центра r до бесконечности. Более реалистичный потенциал, например, потенциал Вудса-Саксона, стремится к постоянной величине на этом пределе. Одним из главных следствий является то, что средний радиус орбит нуклонов будет больше при использовании реалистичного потенциала. Это приводит к уменьшению слагаемого в операторе Лапласа в составе оператора Гамильтона. Другое важное отличие состоит в том, что орбиты с большими средними радиусами, такие как орбиты с высокими n или ℓ, будут иметь более низкую энергию, чем в потенциале гармонического осциллятора. Оба этих эффекта приводят к понижению энергетических уровней орбит с высокими ℓ.

Другие свойства ядра

Эта модель также предсказывает или объясняет с некоторым успехом другие свойства ядер, в частности спин и паритет основных состояний ядер, а также в некоторой степени их возбужденные ядерные состояния. Возьмем 178O (кислород 17) в качестве примера: его ядро имеет восемь протонов, заполняющих первые три протоновых "оболочки", восемь нейтронов, заполняющих первые три нейтронные "оболочки", и один дополнительный нейтрон. Все протоны в полной протонной оболочке имеют нулевой общий угловой момент, поскольку их угловые моменты компенсируют друг друга. То же самое верно и для нейтронов. Все протоны в одном уровне (n) имеют одинаковый паритет (либо +1 или −1), и поскольку паритет пары частиц является произведением их паритетов, четное число протонов из одного уровня (n) будет иметь паритет +1. Таким образом, общий угловой момент восьми протонов и первых восьми нейтронов равен нулю, а их общий паритет равен +1. Это означает, что спин (то есть угловой момент) ядра, а также его паритет полностью определяются паритетом девятого нейтрона. Этот нейтрон находится в первом (т.е. наименьшем энергетическом) состоянии 4-й оболочки, которая является d-оболочкой (l = 2), и поскольку p = (-1), это дает ядру общий паритет +1. Эта 4-я d-оболочка имеет j = 5/2, поэтому ядро 178O, как ожидается, будет иметь положительный паритет и общий угловой момент 5/2, что действительно имеет место. Правила упорядочения оболочек ядра похожи на правила Хунда атомных оболочек, однако, в отличие от их использования в атомной физике, завершение оболочки не означает достижение следующего n, поэтому модель оболочки не может точно предсказать порядок возбужденных состояний ядер, хотя она очень успешна в прогнозировании основных состояний. Порядок первых нескольких членов выглядит следующим образом: 1s, 1p3/2, 1p1/2, 1d5/2, 2s, 1d3/2. Для получения дополнительных разъяснений относительно обозначений обратитесь к статье о символе Рассела — Сандерса. Для ядер, находящихся дальше от магических чисел, необходимо добавить предположение, что из-за связи между сильным ядерным взаимодействием и общим угловым моментом протоны или нейтроны с одинаковым n имеют тенденцию образовывать пары с противоположным угловым моментом. Поэтому ядро с четным числом протонов и четным числом нейтронов имеет спин 0 и положительный паритет. Ядро с четным числом протонов и нечетным числом нейтронов (или наоборот) имеет паритет последнего нейтрона (или протона), а спин равен общему угловому моменту этого нейтрона (или протона). Под "последним" мы подразумеваем свойства, определяемые высшим энергетическим уровнем. В случае ядра с нечетным числом протонов и нечетным числом нейтронов необходимо учитывать общий угловой момент и паритет как последнего нейтрона, так и последнего протона. Паритет ядра будет произведением их паритетов, а спин ядра будет одним из возможных результатов сложения их угловых моментов (другими возможными результатами являются возбужденные состояния ядра). Порядок уровней углового момента внутри каждой оболочки соответствует принципам, описанным выше, из-за спин-орбитального взаимодействия, при этом состояния с высоким угловым моментом смещаются вниз по энергии из-за деформации потенциала (то есть перехода от потенциала гармонического осциллятора к более реалистичному). Однако для пар нуклонов часто энергетически выгодно иметь высокий угловой момент, даже если его энергетический уровень для одного нуклона был бы выше. Это связано с зависимостью между угловым моментом и сильным ядерным взаимодействием. Ядерный магнитный момент нейтронов и протонов частично предсказывается этой простой версией модели оболочки. Магнитный момент рассчитывается через j, l и s "последнего" нуклона, но ядра не находятся в состояниях с хорошо определенными l и s. Кроме того, для ядер с нечетным числом протонов и нечетным числом нейтронов необходимо учитывать два "последних" нуклона, как в случае дейтерия. Поэтому получается несколько возможных значений для ядерного магнитного момента, по одному для каждого возможного комбинированного состояния l и s, и реальное состояние ядра является их суперпозицией. Таким образом, реальный (измеренный) ядерный магнитный момент находится где-то между возможными значениями. Электрический дипольный момент ядра всегда равен нулю, потому что его основное состояние имеет определенный паритет, поэтому плотность материи (ψ, где ψ — волновая функция) всегда инвариантна относительно преобразования паритета. Обычно такая же ситуация наблюдается с атомным электрическим дипольным моментом. Более высокие электрические и магнитные мультипольные моменты не могут быть предсказаны этой простой версией модели оболочки по причинам, аналогичным тем, что возникают в случае дейтерия.

This model also predicts or explains with some success other properties of nuclei, in particular spin and parity of nuclei ground states, and to some extent their excited nuclear states as well. Take 178O (oxygen 17) as an example: Its nucleus has eight protons filling the first three proton "shells", eight neutrons filling the first three neutron "shells", and one extra neutron. All protons in a complete proton shell have zero total angular momentum, since their angular momenta cancel each other. The same is true for neutrons. All protons in the same level (n) have the same parity (either +1 or −1), and since the parity of a pair of particles is the product of their parities, an even number of protons from the same level (n) will have +1 parity. Thus, the total angular momentum of the eight protons and the first eight neutrons is zero, and their total parity is +1. This means that the spin (i. e. angular momentum) of the nucleus, as well as its parity, are fully determined by that of the ninth neutron. This one is in the first (i. e. lowest energy) state of the 4th shell, which is a d shell (ℓ = 2), and since p = (−1), this gives the nucleus an overall parity of +1. This 4th d shell has a j = 5/2, thus the nucleus of 178O is expected to have positive parity and total angular momentum 5/2, which indeed it has. The rules for the ordering of the nucleus shells are similar to Hund's Rules of the atomic shells, however, unlike its use in atomic physics, the completion of a shell is not signified by reaching the next n, as such the shell model cannot accurately predict the order of excited nuclei states, though it is very successful in predicting the ground states. The order of the first few terms are listed as follows: 1s, 1p3/2, 1p1/2, 1d5/2, 2s, 1d3/2 For further clarification on the notation refer to the article on the RussellSaunders term symbol. For nuclei farther from the magic quantum numbers one must add the assumption that due to the relation between the strong nuclear force and total angular momentum, protons or neutrons with the same n tend to form pairs of opposite angular momentum. Therefore, a nucleus with an even number of protons and an even number of neutrons has 0 spin and positive parity. A nucleus with an even number of protons and an odd number of neutrons (or vice versa) has the parity of the last neutron (or proton), and the spin equal to the total angular momentum of this neutron (or proton). By "last" we mean the properties coming from the highest energy level. In the case of a nucleus with an odd number of protons and an odd number of neutrons, one must consider the total angular momentum and parity of both the last neutron and the last proton. The nucleus parity will be a product of theirs, while the nucleus spin will be one of the possible results of the sum of their angular momenta (with other possible results being excited states of the nucleus). The ordering of angular momentum levels within each shell is according to the principles described above – due to spin–orbit interaction, with high angular momentum states having their energies shifted downwards due to the deformation of the potential (i. e. moving from a harmonic oscillator potential to a more realistic one). For nucleon pairs, however, it is often energetically favourable to be at high angular momentum, even if its energy level for a single nucleon would be higher. This is due to the relation between angular momentum and the strong nuclear force. The nuclear magnetic moment of neutrons and protons is partly predicted by this simple version of the shell model. The magnetic moment is calculated through j, ℓ and s of the "last" nucleon, but nuclei are not in states of well defined ℓ and s. Furthermore, for odd odd nuclei, one has to consider the two "last" nucleons, as in deuterium. Therefore, one gets several possible answers for the nuclear magnetic moment, one for each possible combined ℓ and s state, and the real state of the nucleus is a superposition of them. Thus the real (measured) nuclear magnetic moment is somewhere in between the possible answers. The electric dipole of a nucleus is always zero, because its ground state has a definite parity, so it is matter density (ψ, where ψ is the wavefunction) is always invariant under parity. This is usually the situation with the atomic electric dipole. Higher electric and magnetic multipole moments cannot be predicted by this simple version of the shell model for reasons similar to those in the case of deuterium.

Включая остаточные взаимодействия

Для ядер, содержащих два или более валентных нуклона (то есть нуклоны вне замкнутой оболочки), необходимо добавить остаточное двухчастичное взаимодействие. Этот остаточный член обусловлен частью нуклон-нуклонного взаимодействия, не учтенной в приближенном среднем потенциале. Включение этого взаимодействия приводит к смешению различных конфигураций оболочки и снятию вырождения энергий состояний, соответствующих одной и той же конфигурации. Эти остаточные взаимодействия учитываются в расчетах модели оболочки в усеченном модельном пространстве (или валентном пространстве). Это пространство описывается базисом многочастичных состояний, в котором активны только одночастичные состояния, принадлежащие модельному пространству. Уравнение Шредингера решается в этом базисе с использованием эффективного гамильтониана, специально подобранного для модельного пространства. Этот гамильтониан отличается от гамильтониана свободных нуклонов, в частности, тем, что он должен компенсировать исключенные конфигурации.

Коллективная вращение и деформированный потенциал

В 1953 году были обнаружены первые экспериментальные примеры вращательных зон в ядрах, энергетические уровни которых подчинялись той же закономерности J(J+1), что и энергии вращающихся молекул. В квантовой механике коллективное вращение сферы невозможно, следовательно, это указывало на то, что форма этих ядер была не сферической. В принципе, эти вращательные состояния можно было бы описать как когерентные суперпозиции возбуждений частица-дырка в базисе, состоящем из одночастичных состояний сферического потенциала. Однако на практике описание этих состояний таким образом оказалось невыполнимым из-за большого числа валентных частиц, а в 1950-х годах, когда вычислительные мощности были крайне ограничены, эта невыполнимость была еще более выраженной. По этим причинам Аге Бор, Бен Моттельсон и Свен Госта Нильсон разработали модели, в которых потенциал деформировался до эллипсоидальной формы. Первая успешная модель такого типа теперь известна как модель Нильссона. По сути, это модель гармонического осциллятора, описанная в данной статье, но с добавленной анизотропией, поэтому частоты осциллятора вдоль трех декартовых осей не одинаковы. Как правило, форма представляет собой вытянутый эллипсоид, ось симметрии которого принимается за ось z. Поскольку потенциал не является сферически симметричным, одночастичные состояния не являются состояниями с определенным угловым моментом J. Однако к гамильтониану можно добавить множитель Лагранжа, известный как «терм раскрутки». Обычно угловая частота ω принимается перпендикулярной оси симметрии, хотя также можно рассматривать раскрутку с наклоненной осью. Заполнение одночастичных состояний до уровня Ферми приводит к состояниям, ожидаемый угловой момент которых вдоль оси раскрутки соответствует требуемому значению.

Связанные модели

Игал Талми разработал метод извлечения информации из экспериментальных данных и использования её для вычисления и предсказания энергий, которые не были измерены. Этот метод успешно применялся многими ядерными физиками и привёл к более глубокому пониманию структуры ядра. Была разработана теория, дающая хорошее описание этих свойств. Оказалось, что это описание служит основой для оболочечной модели, лежащей в основе элегантной и успешной модели взаимодействующих бозонов. Модель, вытекающая из оболочечной модели ядра, – это альфа-частичная модель, разработанная Генри Маргенау, Эдвардом Теллером, Дж. К. Перингом и Т. Х. Скайрме, также иногда называемая моделью Скайрма. Однако следует отметить, что модель Скайрма обычно рассматривается как модель самого нуклона, как "облако" мезонов (пионов), а не как модель ядра в виде "облака" альфа-частиц.