Волны Хаара: первая известная база вейвлетов в математике. Основы вейвлет-анализа, ортогональные системы и примеры для обучения. История (Альфред Haar, 1909).
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Первая известная волновая основа
First known wavelet basis
В математике волновая система Хаара представляет собой последовательность масштабированных "квадратных" функций, которые вместе образуют семейство волновых систем или основу. Волновой анализ аналогичен анализу Фурье, поскольку позволяет представить целевую функцию на интервале в терминах ортонормальной основы. Последовательность Хаара признана первой известной волновой основой и широко используется в качестве учебного примера. Последовательность Хаара была предложена в 1909 году Альфредом Хааром. Хаар использовал эти функции для приведения примера ортонормальной системы для пространства квадратично интегрируемых функций на единичном интервале [0, 1]. Изучение вейвлетов, и даже термин "вейвлет", появилось значительно позже. Как частный случай вейвлета Добеши, вейвлет Хаара также известен как Db1. Вейвлет Хаара также является самым простым возможным вейвлетом. Техническим недостатком вейвлета Хаара является его отсутствие непрерывности, а следовательно, и дифференцируемости. Однако это свойство может быть преимуществом при анализе сигналов с резкими переходами (дискретных сигналов), например, при мониторинге поломок инструмента в машинах. Функция материнского вейвлета Хаара может быть описана как
In mathematics, the Haar wavelet is a sequence of rescaled "square shaped" functions which together form a wavelet family or basis. Wavelet analysis is similar to Fourier analysis in that it allows a target function over an interval to be represented in terms of an orthonormal basis. The Haar sequence is now recognised as the first known wavelet basis and is extensively used as a teaching example. The Haar sequence was proposed in 1909 by Alfréd Haar. Haar used these functions to give an example of an orthonormal system for the space of square integrable functions on the unit interval [0, 1]. The study of wavelets, and even the term "wavelet", did not come until much later. As a special case of the Daubechies wavelet, the Haar wavelet is also known as Db1. The Haar wavelet is also the simplest possible wavelet. The technical disadvantage of the Haar wavelet is that it is not continuous, and therefore not differentiable. This property can, however, be an advantage for the analysis of signals with sudden transitions (discrete signals), such as monitoring of tool failure in machines. The Haar wavelet's mother wavelet function can be described as
Его масштабирующая функция может быть описана как
Its scaling function can be described as
Трансформация волос
Трансформация Гаара – самая простая из волновых преобразований. Это преобразование выполняет перекрестное произведение функции с вейвлетом Гаара, сдвигая и масштабируя его различными способами, подобно тому, как преобразование Фурье выполняет перекрестное произведение функции с синусоидальной волной с двумя фазами и множеством масштабирований.
The Haar transform is the simplest of the wavelet transforms. This transform cross multiplies a function against the Haar wavelet with various shifts and stretches, like the Fourier transform cross multiplies a function against a sine wave with two phases and many stretches.
Введение
Трансформация Хаара – одна из старейших функций преобразования, предложенная в 1910 году венгерским математиком Альфредом Хааром. Она эффективна в таких областях применения, как сжатие сигналов и изображений в электротехнике и компьютерной инженерии, поскольку предоставляет простой и вычислительно эффективный подход к анализу локальных характеристик сигнала. Трансформация Хаара выводится из матрицы Хаара. Пример матрицы преобразования Хаара размером 4x4 приведен ниже. Трансформацию Хаара можно представить как процесс дискретизации, в котором строки матрицы преобразования действуют как образцы всё более высокого разрешения. Сравните с преобразованием Уолша, которое также использует значения 1/–1, но не является локализованным.
The Haar transform is one of the oldest transform functions, proposed in 1910 by the Hungarian mathematician Alfréd Haar. It is found effective in applications such as signal and image compression in electrical and computer engineering as it provides a simple and computationally efficient approach for analysing the local aspects of a signal. The Haar transform is derived from the Haar matrix. An example of a 4×4 Haar transformation matrix is shown below. The Haar transform can be thought of as a sampling process in which rows of the transformation matrix act as samples of finer and finer resolution. Compare with the Walsh transform, which is also 1/–1, but is non localized.