Введение
Считает фиксированные точки непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя. В математике теорема Лефшеца о фиксированных точках — это формула, которая подсчитывает фиксированные точки непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя, используя следы индуцированных отображений на гомологических группах. Она названа в честь Соломона Лефшеца, который впервые сформулировал её в 1926 году. Подсчет учитывает кратность фиксированной точки, называемую индексом фиксированной точки. Достаточно слабой версии теоремы, чтобы показать, что отображение без каких-либо фиксированных точек должно обладать довольно специфическими топологическими свойствами (например, быть вращением окружности).
In mathematics, the Lefschetz fixed point theorem is a formula that counts the fixed points of a continuous mapping from a compact topological space to itself by means of traces of the induced mappings on the homology groups of It is named after Solomon Lefschetz, who first stated it in 1926. The counting is subject to an imputed multiplicity at a fixed point called the fixed point index. A weak version of the theorem is enough to show that a mapping without any fixed point must have rather special topological properties (like a rotation of a circle).
Схема экзамена
Во-первых, применяя теорему симплициального приближения, можно показать, что если у отображения нет неподвижных точек, то (возможно, после дальнейшего разбиения) оно гомотопно к симплициальному отображению без неподвижных точек (то есть, оно отображает каждый симплекс в различный симплекс). Это означает, что диагональные элементы матриц линейных отображений, индуцированных на симплициальном комплексе цепей, должны быть равны нулю. Далее отмечается, что в общем случае число Лефшеца также можно вычислить, используя знакопеременную сумму следов матриц указанных линейных отображений (это верно почти по той же причине, что и характеристика Эйлера имеет определение через группы гомологии; связь с характеристикой Эйлера приведена ниже). В частности, для симплициального отображения без неподвижных точек все диагональные элементы равны нулю, и, следовательно, все следы равны нулю.
Отношение к характеристике Эйлера
Число Лефшеца отображения тождества на конечном CW-комплексе может быть легко вычислено, осознав, что каждый гомоморфизм можно рассматривать как единичную матрицу, и, следовательно, каждый член следа равен размерности соответствующей группы гомологий. Таким образом, число Лефшеца отображения тождества равно знакопеременной сумме чисел Бетти пространства, которая, в свою очередь, равна эйлеровой характеристике. Следовательно, мы имеем:
Отношение к теореме о фиксированной точке Брауера
Теорема о фиксированной точке Лефшеца обобщает теорему о фиксированной точке Брауэра, которая утверждает, что любое непрерывное отображение из размерного замкнутого единичного диска в должно иметь хотя бы одну фиксированную точку. Это можно увидеть следующим образом: является компактным и триангулируемым, все его группы гомологий, кроме нулевой, равны нулю, и любое непрерывное отображение индуцирует тождественное отображение, след которого равен единице; все это вместе подразумевает, что для любого непрерывного отображения.