Введение
Условное утверждение, которое истинно, поскольку его антецедент не может быть выполнен. В математике и логике вакуумная истина — это условное или универсальное утверждение (универсальное утверждение, которое можно преобразовать в условное), истинное, поскольку его антецедент не может быть выполнен. Иногда говорят, что утверждение является вакуумно истинным, поскольку оно фактически ничего не утверждает. Например, утверждение «все мобильные телефоны в комнате выключены» будет истинным, если в комнате нет мобильных телефонов. В этом случае утверждение «все мобильные телефоны в комнате включены» также будет вакуумно истинным, как и их конъюнкция: «все мобильные телефоны в комнате включены и выключены», которая в противном случае была бы бессмысленной и ложной. Более формально, под этим термином обычно понимают условное (или универсальное условное) утверждение с ложным антецедентом. Пример такого утверждения: «если Токио находится в Испании, то Эйфелева башня находится в Боливии». Такие утверждения считаются вакуумными истинами, поскольку ложность антецедента не позволяет использовать утверждение для вывода о значении истинности консеквента. По сути, условное утверждение, основанное на материальной импликации, истинно, когда антецедент («Токио находится в Испании» в примере) ложен, независимо от того, истинен или ложен консеквент («Эйфелева башня находится в Боливии» в примере), поскольку материальная импликация определяется именно таким образом. Примеры, часто встречающиеся в повседневной речи, включают условные фразы, используемые как идиомы, выражающие маловероятность, такие как «когда рак на горе свистнет» и «когда свиньи полетят», указывающие на то, что говорящий примет какое-либо (обычно ложное или абсурдное) предложение только после наступления данного (невозможного) условия. В чистой математике вакуумно истинные утверждения обычно не представляют интереса сами по себе, но часто возникают как базовый случай при доказательстве методом математической индукции. Эта концепция имеет значение как в чистой математике, так и в любой другой области, использующей классическую логику. За пределами математики утверждения, которые можно неформально охарактеризовать как вакуумно истинные, могут быть вводящими в заблуждение. Такие утверждения делают разумные заявления об объектах, которые на самом деле не существуют. Например, ребенок может честно сказать родителю: «Я съел все овощи на своей тарелке», хотя на тарелке ребенка изначально не было никаких овощей. В этом случае родитель может поверить, что ребенок действительно съел овощи, хотя это не так.
In mathematics and logic, a vacuous truth is a conditional or universal statement (a universal statement that can be converted to a conditional statement) that is true because the antecedent cannot be satisfied. It is sometimes said that a statement is vacuously true because it does not really say anything. For example, the statement "all cell phones in the room are turned off" will be true when no cell phones are present in the room. In this case, the statement "all cell phones in the room are turned on" would also be vacuously true, as would the conjunction of the two: "all cell phones in the room are turned on and turned off", which would otherwise be incoherent and false. More formally, a relatively well defined usage refers to a conditional statement (or a universal conditional statement) with a false antecedent. One example of such a statement is "if Tokyo is in Spain, then the Eiffel Tower is in Bolivia". Such statements are considered vacuous truths, because the fact that the antecedent is false prevents using the statement to infer anything about the truth value of the consequent. In essence, a conditional statement, that is based on the material conditional, is true when the antecedent ("Tokyo is in Spain" in the example) is false regardless of whether the conclusion or consequent ("the Eiffel Tower is in Bolivia" in the example) is true or false because the material conditional is defined in that way. Examples common to everyday speech include conditional phrases used as idioms of improbability like "when hell freezes over " and "when pigs can fly ", indicating that not before the given (impossible) condition is met will the speaker accept some respective (typically false or absurd) proposition. In pure mathematics, vacuously true statements are not generally of interest by themselves, but they frequently arise as the base case of proofs by mathematical induction. This notion has relevance in pure mathematics, as well as in any other field that uses classical logic. Outside of mathematics, statements which can be characterized informally as vacuously true can be misleading. Such statements make reasonable assertions about qualified objects which do not actually exist. For example, a child might truthfully tell their parent "I ate every vegetable on my plate", when there were no vegetables on the child's plate to begin with. In this case, the parent can believe that the child has actually eaten some vegetables, even though that is not true.
Сфера применения концепции
Утверждение считается "вакуумно истинным", если оно аналогично материальному условному высказыванию, где антецедент заведомо ложен. В Python функция `all` возвращает `True`, если все элементы переданной итерируемой сущности равны `True`. Функция также возвращает `True` для итерируемой сущности нулевой длины. В Rust функция `Iterator::all` принимает итератор и предикат и возвращает `true` только в том случае, если предикат возвращает `true` для всех элементов, выдаваемых итератором, или если итератор не выдает ни одного элемента.